Regula falsi

Zenbakizko analisian, Regula falsi metodoa algoritmo iteratibo bat da, funtzio baten erro hurbildua aurkitzeko aukera ematen duena, bisekzioaren eta sekantearen metodoak konbinatuz.

Metodoa

Regula falsi metodoaren lehenengo bi iterazioak. Kurba gorriak f funtzioa adierazten du, eta zuzen urdinek, aldiz, sekanteak

Bisekzio-metodoan bezala, $[a_{0},b_{0}]$ hartzen da hasierako tartetzat, non $f(a_{0})$ eta $f(b_{0})$ kontrako zeinukoak diren. Funtzioak jarraitua izan behar duenez tarte horretan, Bolzanoren teoremaren ondorioz, bermatuta dago erro baten existentzia tarte horretan. Algoritmoak, iterazio bakoitzean, tarte txikiago bat lortzen du, $[a_{k},b_{k}]$, erroa bertan egonik.

$[a_{k},b_{k}]$ tarte batetik hasita, $c_{k}$ tarteko puntu bat kalkulatzen da hurrengo moduan:

$c_{k}={\frac {f(b_{k})a_{k}-f(a_{k})b_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}$

Puntu hori $(a,f(a_{k}))$ eta  $(b,f(b_{k}))$ puntuetatik pasatzen den zuzenaren eta abzisa-ardatzaren arteko ebakipuntua da. Ondoren, $f(c_{k})$ kalkulatu behar da eta, balioa zerotik hurbil badago, $c_{k}$ erroaren hurbilpen ona da. Bestela, $[a_{k+1},b_{k+1}]$ tartea hurrengoa izango da:

• $[a_{k},c_{k}]$,  $f(a_{k})$ eta $f(c_{k})$ aurkako zeinukoak badira.
• $[c_{k},b_{k}]$, aurkako kasuan.

Formularen jatorria

Demagun $k$-garren iterazioan tartea $[a_{k},b_{k}]$dela. Irudian ikus daitekeen bezala, $(a_{k},f(a_{k}))$ eta $(b_{k},f(b_{k}))$ puntuetatik pasatzen den zuzena eraiki behar da.  Zuzen horren ekuazioa, puntu-malda moduan, honela ematen da:

$y-f(b_{k})={\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(x-b_{k}).$

Orain hartu $c_{k}$ zuzenaren eta abzisa ardatzaren arteko ebakipuntua. Beraz, $y=0$ eta $x=c_{k}$ aurreko formulan ordezkatuz, hurrengoa lortzen da:

$f(b_{k})+{\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(c_{k}-b_{k})=0.$

Ekuazio horretatik $c_{k}$ askatuz, $c_{k}$-ren ondorengo adierazpena lortzen da:

$c_{k}=b_{k}-f(b_{k}){\frac {b_{k}-a_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}={\frac {a_{k}f(b_{k})-b_{k}f(a_{k})}{f(b_{k})-f(a_{k})}}.$

Metodoaren analisia

Froga daiteke, baldintza jakin batzuetan, Regula falsi metodoak konbergentzia lineala duela eta, beraz, astiroago konbergitzen duela ekuazioaren emaitzara sekantearen metodoak baino.

Izan ere, algoritmoaren desabantaila da, funtzioa soluziotik gertu ganbila edo ahurra bada, emaitzatik urrunen dagoen tartearen muturra finko geratzen dela eta hurbilen dagoen muturra aldatzen dela soilik.  Hortaz, horrek oso poliki konbergitzea eragiten du.

Hala ere, bestalde, Regula falsi metodoak beti konbergitzen du ekuazioaren emaitza batera.