Artikulu hau "Kalitatezko 1.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da

Ruffiniren erregela

Wikipedia, Entziklopedia askea
Jump to navigation Jump to search

Matematikan, Ruffiniren erregela edozein polinomioren zatiketa x-r erako binomio batez errazten duen algoritmo bat da. Polinomio baten erroak kalkulatzeko erabil daiteke. Paolo Ruffinik asmatu zuen 1809. urtean, eta «zatiketa sintetikoaren» kasu berezia da; zatiketa sintetikoa polinomioen arteko zatiketa da non zatitzailea «faktore lineala» den. Horner-en Algoritmoak, polinomioak zatitzeko erabiltzen denak, Ruffiniren erregela erabiltzen du. Ruffiniren erregelak polinomio baten erroak aurkitu eta, erroa r zenbaki osoa izanik, (x-r) erako binomioen faktorizazioa ahalbidetzen du.


Ruffiniren metodoaren historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Paolo Ruffini

Polinomio baten erro hurbilduaren balioa bilatzeko Ruffini-Horner-en metodoa, Paolo Ruffinik (1804-1807-1813 urteetan egindako argitalpenak) eta William George Hornerrek (1819-1845 urteetan egindako argitalpenak) hil ostean argitaratu zuten; dirudienez, Hornerrek ez zituen Ruffiniren lanak ezagutzen.

Ruffinik Italiako Zientzia Elkarteak antolaturiko lehiaketa batean (1802) hartu zuen parte; horretan polinomioen erroak aurkitzeko metodoa bilatzen zen. Bost proposamen iritsi ziren. Bi urte beranduago (1804) Ruffinik saria lortu zuen[1] eta ondorioz, bere metodoa argitaratua izatea lortu zuen.Metodoaren hobekuntzak argitaratu zituen 1807. eta 1813. urteetan.

Hornerren metodoa 1819. urtean argitaratu zen, eta 1845ean hobetu zen.


Ruffini-Horneren metodoak ez dauka erabilgarritasun handirik baldin eta polinomien erroak oso antzekoak badira. Ruffinik ez zuen egoera horri aurre egiteko soluziorik eman; Hornerrek, berriz, prozedura berezi bat planteatu zuen. Hornerren metodoa, De Morgan eta J.R.Young matematikariek erabili zuten.

Ruffini-Horneren metodoaren antzekoak aurkitzen dira historian zehar. Txinan esaterako, Al Samaw'al-en lanetan agertzen da n-garren erroak lortzeko prozedura bat. Sharaf al-Din al-Tusi persiar matematikaria (XII.mendea) izan zen 3. mailako ekuazio bat ebazteko prozedura bat proposatzen lehenengoa.


Algoritmoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez

  • P(x) polinomioa, zatikizuna:
  • Q(x) polinomioa, zatitzailea:
  • Zatidura R(x) polinomioa da:

Beraz, hau bete behar da:


P(x) polinomioa Q(x) binomioz zatitzeko:

1. Lehenik, bi marra marrazten dira ardatz moduan (ikusi irudia). P(x) polinomioaren koefizienteak maila handienetik txikienera idazten dira, ezkerretik eskuinera ardatzaren goialdean. Koefizientea nulua denean 0 idazten da.

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
    |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |  
                                 

2. Ardatz bertikalaren ezkerraldean r erroa idazten da. (Gogoratu r-k beti a0 zatitzen duela). Polinomioaren lehenengo koefizientea (maila handienekoa) ardatz horizontalaren azpialdean idazten da, aldaketarik gabe:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |

3. bn-1 r balioaz biderkatu eta polinomioaren hurrengo koefizientearen azpian jartzen da. Ondoren, bigarren zutabeko zenbakiak batzen dira (bn-2=an-1+bn-1r):

    |      an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |      an        bn-2 
    |

4. Prozesua sistematikoki errepikatzen da behin eta berriz:

    |       an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                 bn-1r       ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |      an         bn-2        ...         b0         s
    |            

Beraz, Ruffiniren erregelaren bidez honako hau lortzen da: ;

polinomioaren maila polinomioarena baino bat txikiagoa da, eta , hondarra.

Ruffiniren erregelaren aplikazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ruffiniren erregelak zenbait aplikazio ditu; gehienak, zatiketa sinple batean oinarrituak dira (aurrerago frogatuko den bezala).

1. Polinomioen arteko zatiketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez (zatikizuna) eta (zatitzailea) polinomioak, non polinomioak lehenengo mailakoa izan behar duen derrigorrez.

Aplikazio hau zatiketa arruntaren baliokidea da.

Adibidez, egin dezagun

polinomioen arteko zatiketa ().

Ohartu x+1 binomioa x-(-1) binomioaren baliokidea dela. Beraz, era horretan (x-(-1)) jarri behar da x-r erakoa izan dadin:

1.

Koefizienteak aldagaiaren mailaren arabera jarriko dira: handienetik, txikienera; ezkerretik, eskuinera.


    |     2     3     0     -4
    |                                    
    |                                    
----|----------------------------
    |                                    
    |

Kasu honetan, x-ren koefizientea nulua da; hortaz, 0 jarri behar da.

2.

Lehenengo koefizientea behealdean berridatziko dugu, eta r (kasu honetan, r=-1) ardatzaren ezkerraldean idatziko.

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |     2                              
    |

3.

2*(-1) = -2 dugu, eta balio hori polinomioaren bigarren koefizientearen azpian idatziko dugu. Ondoren, 3+(-2)=1 lortuko dugu, eta emaitza hori -2ren azpialdean idatziko dugu.

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |          -2                         
----|----------------------------
    |     2     1                         
    |

4.

Aurreko pausoa errepika errepikatu egingo dugu bukaerara (hondarrera) iritsi arte.

    |     2     3     0        -4
    |
 -1 |          -2    -1         1
----|-------------------------------
    |     2     1    -1         -3
    |{zatidura koefizienteak}{hondarra}

Beraz, honako hau lortu dugu:

2. Polinomioen erroak aurkitzea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erro arrazionalen teoremak dioen bezala, (koefizienteak errealak izanda) polinomioaren erro arrazionalak beti modukoak dira, non baita -ren zatitzaile oso bat eta , -rena. Ohartu polinomioaren maila n bada, erro kopurua gehienez n dela anizkoiztasuna kontuan hartuz.


Demagun hurrengo polinomioa dugula:

. Esandakoaren arabera; denez, , eta denez, . Beraz, polinomio horren erro posibleak dira. Hori jakinda, polinomioa -rekin zatitzen da (), Ruffiniren metodoa erabiliz, eta hondarra 0 bada, erroa dela () ondorioztatzen da.

1. metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

polinomioa, binomioarekin zatitzen saiatuko gara. Hondarra 0 baldin bada, erabilitako gure polinomioaren erroa izango da.

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                               |
 +1 |          +1    +3     +2                   -1 |          -1    -1    +2
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +3    +2      0                      |    +1    +1    -2     0

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                               |
 +2 |          +2    +8    +14                   -2 |          -2     0    +2
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +4    +7    +12                      |    +1     0    -1     0
Ohartu erro posible batekin saiakera egiten dugunean eta hondarra zeroren ezberdina denean, erro hori baztertu behar dugula (ez baita erroa izango).
2. metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

1. metodoan bezala hasiko gara erro bat aurkitu arte. Kasu honetan, behin erroa aurkituta, gure hurrengo koefizienteak ardatzaren horizontalaren azpialdean lortuak izango dira

(letra lodiz: +1 +1 -2 = ). Erro posibleetako batekin 0 lortzen ez badugu, erro hori baztertuko dugu. Aipatutako koefizienteetatik abiatuz prozedura berdina erabiliko dugu. Gogoratu erroak errepikatu ahal direla, hau da, erro anizkoitza izan daitekeela:

    |    +1    +2    -1    -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                              |
 -1 |          -1    -1    +2                   -1 |          -1    -1    +2
----|---------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +1    -2   | 0                      |    +1    +1    -2   | 0
    |                                              |
 +2 |          +2    +6                         +1 |          +1    +2
-------------------------                      -------------------------
    |    +1    +3   |+4                            |    +1    +2   | 0
                                                   |
                                                -2 |          -2
                                               -------------------
                                                   |    +1   | 0

3. Polinomioen faktorizazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aurreko atala erabiliz, (polinomioaren erro arrazionalak aurkitu ondoren); erro bakoitzari faktore lineal edo binomio bat esleituko diogu; honela:

polinomioaren erro arrazionala izanik, izango da polinomioaren faktore bat.

Adibidez:

izanik, lehenik, erro arrazionalen aukerak zeintzuk diren lortuko dugu: { } (Gogoratu non eta )

     |    +8    -2    -1    
     |
+1/2 |          +4    +1   
 ----|-------------------         
     |    +8    +2   | 0
     |
-1/4 |          -2
 ----|--------------------
     |    +8   | 0
                                                                                                                                      
Gure kasuan, bi erro lortu ditugu, . Beraz, izango da polinomioaren faktorizazioa.

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. (Ingelesez)  Cajori, Florian (1911) «Horner’s method of approximation anticipated by Ruffini» Bulletin of the American Mathematical Society (8): 409–414 doi:10.1090/S0002-9904-1911-02072-9 ISSN 0002-9904 . Noiz kontsultatua: 2018-11-21 .

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]