Progresio aritmetiko

Play media

Segida mota asko
nahiz sortu mundura
bi garrantzitsuenak
zeintzuk ditugu ba?
aritmetikoan berdin
mantentzen den hura:
gai bat eta aurreko
gaiaren kendura,
ta geometrikoan
aldiz zatidura

Lau zenbaki progresio aritmetikoan.

Matematikan, $a_{n}\,$ zenbaki segida batek segida aritmetiko edo progresio aritmetiko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien kenketa, $d=a_{n}-a_{n-1}\,$ alegia, konstante bat denean. Konstante honi diferentzia deritzo. Progresio aritmetikoetatik Fibonacci eta Euler segidak sortzen dira, eta horiek aplikazio ugari dituzte polinomioen ebazketan, eraztun algebraikoetako elementuak segida geometrikoen terminoak direlako.

Adibidez, honako hau 2ko diferentzia duen segida aritmetikoa da, $a_{1}=3\,$ izanik: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Segida aritmetiko bateko $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,$ erako batuketa bati serie aritmetiko deritzo.

Segida aritmetiko bateko n-garren elementua formula honen arabera kalkula daiteke:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,$

Formula honen bitartez ere kalkula daiteke:

$a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,$

Serie aritmetiko baten batura

Serie aritmetiko baten lehenengo $n\,$ batura formula honen arabera kalkula daiteke:

$S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.$

Adibidez, honako batura hau kalkulatzeko:

3+5+7+...+87,

jakinik $a_{1}=3,\ a_{n}=87,\ d=2,\ n={\frac {a_{n}-a_{1}}{d}}+1={\frac {87-3}{2}}+1=43\,$ ditugula:

$S_{a}{43;3,2}={\frac {43\times (3+87)}{2}}=1935$

Frogapena

$S_{a}(n;a_{1},d)\,$ batuketa bi eratara eginez:

$S_{a}(n;a_{1},d)=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{a}(n;a_{1},d)=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

Bi ekuazioak batuz eta laburtuz:

$S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

$\ 2S_{a}(n;a_{1},d)=n(a_{1}+a_{n}).$

Eta hortik:

$S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$