Progresio aritmetiko

Lau zenbaki progresio aritmetikoan.

Matematikan, $a_{n}\,$ zenbaki segida batek segida aritmetiko edo progresio aritmetiko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien kenketa, $d=a_{n}-a_{n-1}\,$ alegia, konstante bat denean. Konstante honi diferentzia deritzo.

Adibidez, honako hau 2ko diferentzia duen segida aritmetikoa da, $a_{1}=3\,$ izanik: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Segida aritmetiko bateko $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,$ erako batuketa bati serie aritmetiko deritzo.

Segida aritmetiko bateko n-garren elementua formula honen arabera kalkula daiteke:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,$

Formula honen bitartez ere kalkula daiteke:

$a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,$

Serie aritmetiko baten batura

Serie aritmetiko baten lehenengo $n\,$ batura formula honen arabera kalkula daiteke:

$S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.$

Adibidez, honako batura hau kalkulatzeko:

3+5+7+...+87,

jakinik $a_{1}=3,\ a_{n}=87,\ d=2,\ n={\frac {a_{n}-a_{1}}{d}}+1={\frac {87-3}{2}}+1=43\,$ ditugula:

$S_{a}{43;3,2}={\frac {43\times (3+87)}{2}}=1935$

Frogapena

$S_{a}(n;a_{1},d)\,$ batuketa bi eratara eginez:

$S_{a}(n;a_{1},d)=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{a}(n;a_{1},d)=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

Bi ekuazioak batuz eta laburtuz:

$S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

$\ 2S_{a}(n;a_{1},d)=n(a_{1}+a_{n}).$

Eta hortik:

$S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$