Progresio aritmetiko

Segida mota asko
nahiz sortu mundura
bi garrantzitsuenak
zeintzuk ditugu ba?
aritmetikoan berdin
mantentzen den hura:
gai bat eta aurreko
gaiaren kendura,
ta geometrikoan
aldiz zatidura

Lau zenbaki progresio aritmetikoan.

Matematikan, $a_{n}\,$ zenbaki segida batek segida aritmetiko edo progresio aritmetiko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien kenketa, $d=a_{n}-a_{n-1}\,$ alegia, konstante bat denean. Konstante honi diferentzia deritzo. Progresio aritmetikoetatik Fibonacci eta Euler segidak sortzen dira, eta horiek aplikazio ugari dituzte polinomioen ebazketan, eraztun algebraikoetako elementuak segida geometrikoen terminoak direlako.

Adibidez, honako hau 2ko diferentzia duen segida aritmetikoa da, $a_{1}=3\,$ izanik: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Segida aritmetiko bateko $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,$ erako batuketa bati serie aritmetiko deritzo.

Segida aritmetiko bateko n-garren elementua formula honen arabera kalkula daiteke:

a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,

Formula honen bitartez ere kalkula daiteke:

a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,

Serie aritmetiko baten batura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Serie aritmetiko baten lehenengo $n\,$ batura formula honen arabera kalkula daiteke:

S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.

Adibidez, honako batura hau kalkulatzeko:

3+5+7+...+87,

jakinik $a_{1}=3,\ a_{n}=87,\ d=2,\ n={\frac {a_{n}-a_{1}}{d}}+1={\frac {87-3}{2}}+1=43\,$ ditugula:

S_{a}{43;3,2}={\frac {43\times (3+87)}{2}}=1935

Frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

$S_{a}(n;a_{1},d)\,$ batuketa bi eratara eginez:

S_{a}(n;a_{1},d)=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)

S_{a}(n;a_{1},d)=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.

Bi ekuazioak batuz eta laburtuz:

S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}

\ 2S_{a}(n;a_{1},d)=n(a_{1}+a_{n}).

Eta hortik:

S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}

Zenbaki lehenak segida aritmetikoetan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbakiak binaka hartuta multzo bi ditugu: bakoitiak eta bikoitiak. Bigarrenean zenbaki lehen bakarra dagoenez, infinitu zenbaki lehen daude bakoitien artean.

Zenbakiak hirunaka hartuz hiru multzo ditugu: 3n erakoak (3, 6, 9, 12, . . .), 3n + 1 erakoak (4, 7, 10, 13, . . .) eta 3n + 2 erakoak (2, 5, 8, 11, . . .). Lehen multzoak zenbaki lehen bakarra du. Baina, beste bietan daude infinitu zenbaki lehen ala bietako batean bakarrik? Ez dirudi erantzuna berehalakoa denik.

Hartu orain zenbakiak launaka. {4n} segidak ez du zenbaki lehenik eta {4n + 2} segidan lehen bakarra dago, 2. Beraz, {4n + 1} eta {4n + 3} segiden artean infinitu zenbaki lehen daude; bakoitzak ditu infinitu zenbaki lehen ala batek bakarrik?

Gai orokorra a + nd erakoa duen segidari segida aritmetikoa deritzo (a eta d finkoak dira eta n ∈ N∪{0} da). Zenbaki batek a eta d zatitzen baditu, segidako gai guztiak zatituko ditu. Kasu horretan, zatitzaile hori 1 baino handiagoa bada, edo ez dago zenbaki lehenik segidan edo a bakarrik izango da lehena. Galdera, orduan, hau da: zkh(a, d) = 1 bada, ziurta daiteke a + nd segidako zenbaki lehenen kopurua infinitua dela?

Erraz asma daitekeen galdera da eta ez dakigu nori bururatu zitzaion lehen aldiz. Legendre matematikari frantsesak ekarri zuen hizpidea Essai de th´eorie des nombres liburuan (1798) eta bertan esan zuen horrelako segida aritmetiko batean beti infinitu zenbaki lehen daudela. Esan bai, baina frogatu ez. P.Lejeune-Dirichlet matematikari alemaniarrak 1837ko lan batean eman zuen teorema horren froga, Legendrek arrazoi zuela erakutsiz.