Tentsore

Tentsore ezberdinak koordenatu kartesiarretan kokaturik

Tentsore bat matematika eta fisikan hainbat osagai dituen entitate aljebraiko bat da. Hautatutako koordenatu sistemarekiko independientea den objetu matematikoa da, hortaz, aldaezina erreferentzi sistema ezberdinetarako.

Tentsoreak koordenatu-sistema jakin batean dituzten osagaien bidez deskriba daitezke. Osagai hauek indizeen bidez izendatzen dira. Tentsorearen osagai guztiak zehazteko behar diren indize kopuruak tentsorearen-ordena zehaztuko du: tentsore eskalar batek 0 ordena izango du; bektore batek 1 ordena izango du; matrize batek 2 ordena izango du etab.

Hala ere, tentsoreen osagaiek erregela zehatz batzuk jarraitu beharko dituzte, aldaezintasuna bermatzeko. Erregela hau aurrerago azalduko da eta honakoa da:

$T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}{}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}={\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{1}'}{}_{\mu _{1}}{\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{2}'}{}_{\mu _{2}}\ldots {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{n}'}{}_{\mu _{n}}R^{\nu _{1}}{}_{\nu _{1}'}\ldots R^{\nu _{l}}{}_{\nu _{l}'}T^{\mu _{1}\mu _{2}\ldots \mu _{n}}{}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}.$

Tentsore baten ordena

• 0 ordenako tentsorea: Eskalar bat da, zenbaki bat, hain zuzen ere (adibidez, tenperatura, energia). Adibidea:

$T=5^{\circ }C$

• 1 ordenako tentsorea: Bektore bat da, magnitudea eta norabidea dituen objektu matematikoa da (adibidez, azelerazioa, indarra). Halako tentsoreek $T^{i}$ osagaiak dituzte, non $i$ indizeak osagai bakoitza izendatzen duen. Adibidea:

$A=(A^{1},A^{2},A^{3})=(0,1,0)m/s^{2}$

• 2 ordenako tentsorea: Matrize baten bidez adierazten da, transformazio linealak edo bektoreen arteko erlazioak deskribatzen ditu (adibidez, solido batean tentsioak edo inertzia tentsorea). Halako tentsoreek  $T^{ij}$ osagaiak dituzte, non, oro har (konbentzioz), $i$ matrize baten errenkadak eta $j$ zutabeak diren. Bi norabideen arteko erlazioak kodetzen ditu. Adibidea:

${\bar {\bar {I}}}=I^{ij}={\begin{pmatrix}I^{xx}&I^{xy}&I^{xz}\\I^{yx}&I^{yy}&I^{yz}\\I^{zx}&I^{zy}&I^{zz}\\\end{pmatrix}}m^{2}kg$

kontuan hartu orokorrean $i$ eta $j$ zenbaki oso bezala uler ditzakegun arren, batzuetan, fisikan norabideen izenak ere har ditzaketela, $x$, $y$ eta $z$ kasu.

Levi-Civita sinboloa, kubo batean adierazia. Tentsore bat ez den arren, 3. ordeneko tentsore baten irudia egiteko balio du.

• Ordena handiagoko tentsorea: Orokorrean, ordenak elementu guztiak "aurkitzeko" behar diren indize kopurua adierazten du. Hiru ordenako tentsoreak matrize multzo bat litzateke, kubo bat hain zuzen ere, osagai bat aurkitzeko hiru indize beharko dituena. 4 ordenakoa "tetrakuboa" litzateke, kubo multzoa, hain zuzen ere, eta abar. Adibidea: ${R^{\alpha }}_{\beta \gamma \rho }$ Riemannen kurbadura-tentsorea.

Tentsore notazioa

Einstein Notazioa (Baturaren Konbentzioa)

Tentsoreen notazioan Einstein-en konbentzioa erabili ohi da. Konbentzio honen arabera, termino bakar batean indize bat errepikatuta agertzen denean, indize horrek har ditzakeen balio guztietarako termino horren batuketa implikatzen du.

Adibidez,$A_{i}B^{i}$ adierazpenean, $i$ balio posible guztien batura egin behar dela ulertzen da. Adibidez, $i$ balioak 1,2,3 izan badaitezke $i\in \{1,2,3\}$, orduan:

$A_{i}B^{i}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B^{i}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3}.$

Oharra: Batzen diren indizeak eta batzen ez direnak dituzten adierazpenak existitzen dira, adibidez, $T^{ij}S_{j}$. Batzen diren indizeei "mutuak/fiktizioak" deritze eta batzen ez direnei "askeak". Hala, mutuei izena alda dakioke $\left(a_{i}b^{i}=a_{j}b^{j}\right)$ , ez ordea, askeei $a^{i}\neq {a^{j}}$.

Eragiketa nabariak

Biderketa eskalarra

Matrize notazioan biderketa eskalarra honela idatziko litzateke:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3},$

eta tentsore idazketan idatzi dugula ikusi dugu, $A_{i}B^{i}$ moduan alegia,

${\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{i}B^{i}.$

Iraulketa

Matrize baten iraulketa, matrize idazkeran $A^{T}$ da:

$A={\begin{pmatrix}A^{11}&A^{12}\\A^{21}&A^{22}\end{pmatrix}}\longrightarrow A^{T}={\begin{pmatrix}A^{11}&A^{21}\\A^{12}&A^{22}\end{pmatrix}}.$

Tentsore notazioan, hau honela adierazten da:

$\left({A^{T}}\right)_{ij}=A_{ji}.$

Beraz, indizeak ez dira trukagarriak tentsore notazioan, haien posizio erlatiboa aldatzea eragiketa bat egitea baita.

Matrizeen arteko biderketa

Izan bitez $m\times n$ dimentsioko $A$ matrize bat eta $n\times p$ dimentsioko $B$ matrize bat.

$C=AB$ matrizearen $c_{ij}$ sarrera honela kalkulatzen da:

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$

Honela:

• $a_{ik}$ $A$ matrizearen $i$ errenkada eta $k$ zutabean dagoen elemetua da.
• ${b_{kj}}$ $B$ matrizearen $k$ errenkada eta $j$ zutabean dagoen elementua.
• Batura $k$ indizean egiten da, eta honek 1etik $n$-ra bitarteko balioak hartzen ditu.

C matrizearen sarrera bakoitza A matrizearen errenkada bakoitzeko osagai guztien eta B matrizearen zutabe bakoitzeko osagai biderketaren bidez lortzen da. Errenkada eta zutabeak $c_{ij}$ sarrerako indizeek adierazten dute, non $i$ lehenengo matrizearen errenkada eta $j$ bigarrenaren zutabea diren.

Adibidez, 2x2 matrizeen kasuan:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}.$

Adibidez, lehen sarrera $c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=a_{1k}b_{k1}$ izango litzateke. Azken hau Einstein baturaren konbentzioa erabiliz.

Beraz,

$C={\begin{pmatrix}a_{1k}b_{k1}&a_{1k}b_{k2}\\a_{2k}b_{k1}&a_{2k}b_{k2}\end{pmatrix}}.$

Produktua $C=AB$ tentsore notazioan:

$c_{ij}=a_{ik}b_{kj}.$

Hemen $k$ indizea batzen ari da, Einsteinen konbentzioagatik. Beraz, espresioa baliokidea da.

Azkenik, tentsore notazioan elementuen posizioa aldatu dezakegula kontuan izatea garrantzitsua da: $a_{ik}b_{kj}=b_{kj}a_{ik}$, izan ere, $a_{ik}$ eta $b_{kj}$ errealak edo konplexuak diren zenbakiak dira, eta hauen biderketa trukagarria da. Badirudi hori matrize notazioan gertatzen denarekin $AB\neq BA$ kontraesanean dagoela, ezberdintza, ordea, indizeen posizioan datza; azken hau da hortaz, garrantzitsua eta ez abeliarra/trukakorra, izan ere, $a_{ik}b_{kj}\neq a_{ik}b_{jk}$ edo $a_{ik}b_{kj}\neq b_{jk}a_{ik}$ edo $a_{ik}b_{kj}\neq b_{ik}a_{kj}$. Lehen berdintasunak $AB=A(B^{T})$ dio, bigarrenak $AB=(A^{T})B$ eta hirugarrenak $AB=BA$ esango luke, eta orokorrean ez dira betetzen.

Kontrakzioa

Tentsoreen kontrakzioa tensor baten ordena murrizten duen eragiketa bat da. Zehazki, (n, m) motako tentsore bat (n - 1, m - 1) motako tentsore batera murrizten du. Hortaz, kontrakzioaren ondorioz, tentsore baten ordena bi unitatetan gutxitzen da. Eragiketa hau bi indize ezberdin berdinak bihurtzean datza, hau da, goi-indize bat eta azpi-indize bat berdintzean datza. Berdintzean eta Einsteinen batura konbentzioa kontuan hartuz, termino guztien batura egin behar da, bi indize ezberdinak dituzten osagaiak baztertuz. Beraz, tentsoreen kontrakzioa tentsore baten aztarnaren kasu berezi bat da.

Adibidez, demagun (2, 2) motako tentsore bat dugula, ${T^{ab}}_{cd}$, lau indize dituelarik: bi goi-indize eta bi azpi-indize. Tentsore honen kontrakzio bat adibidez, a = c egitean izango dugu. Horrek honakoa esan nahi du:

${T^{b}}_{d}={T^{ab}}_{ad}$

Horrela, tentsore berri bat lortzen dugu, bi indize gutxiagorekin.

Tentsorearen Definizioa

Tentsorea koordenatu aldaketa bat egitean aldaezin mantentzen den objektu matematikoa da.

Esanahia

Adibidea: Azelerazio jakin batekin mugitzen den objetu bat

Azelerazioa tentsore baten adibide sinplea da, bi erreferentzia-sistema inertzialek bat egingo baitute objektuak azelerazio bera duela adieraztean. Hala ere, erreferentzia-sistema ezberdinetako A eta B behatzaileak ez dira ados jarriko bektore horren osagaiekin.\\

Tentsorea, hautatutako koordenatu sistemarekiko independientea den objetu matematikoa da, hau da, edozen erreferentzi sitema ezberdinetako bi behatzaileek bat egiten duten objetu geometriko horren ideiari deritzo tentsore. Nahiz eta osagaiak aldatu daitezkeen, tentsoreak entitate fisiko edo geometriko bera irudikatzen jarraitzen du.\\

Oharra: Tentsore mota gehiago ere badirela kontuan hartu beharra dugu, hala nola tenperatura (eskalar bat), inertzia (matrizeak) etab. Tentsorearen definizioa bektorearen definiziotik haratago doa.

Tentsorearen Intuizio geometrikoa

Tentsorea osagaietan deskribatzen denean, beti erreferentzia-sistema batekin batera egin behar da. Hortaz, B behatzailearen erreferentzia-sistema A sistemarekiko biraturik dagoela definituko dugu, aurrekoaren antzera:

Bi sistemen arteko biraketa-matrizea $A\xrightarrow {} B$ honakoa da:

$R={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.$

Beste modu batera esanda, B erreferentzia-sistema "prima" sistema bada, sistema hauen oinarriak honakoa beteko dute

${\hat {e}}'={\begin{pmatrix}{\hat {i}}'\\{\hat {j}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {i}}\\{\hat {j}}\end{pmatrix}}.$

Tentsoreen notazioan (beraz, Einsteinen konbentzioa erabilita) honakoa da

${\hat {e}}'_{\alpha }=R_{\alpha }{}^{\beta }{\hat {e}}_{\beta }.$

Ohartu, bektore batek bi oinarri ezberdinetan osagai berdinak edukiko balitu, biak bektore ezberdinetaz hitz egiten ariko lirateke.

Beraz, bi erreferentzia-sistema ezberdinek objektu geometriko berean bat egiteko, objektu horren osagaiak oso modu zehatzean aldatu behar dira, koordenatu-sistemaren biraketa desegiteko moduan, hain zuzen ere. Bestela, ez genuke objektu fisiko edo geometriko bera izango, hau da, tentsorea.

Osagaiak sistema biraketaren aurka biratu behar dira, objetu berdina izan dadin

${\vec {v}}'=R^{-1}{\vec {v}}.$

Tentsore-notazioan hau honela adierazten da:

$v'^{\alpha }={{R^{-1}}^{\alpha }}_{\beta }v^{\beta }.$

Bektorearen osagaiak, goi-indizea dutenak, kontrabariante izenez ere ezagutzen dira, haien biraketa-matrizea sistemarenaren aurkakoa baita.

Tentsore baten osagaiek jarraitu beharreko erregela

Berreskuratu dezagun berriro tentsorearen definizioa:

Tentsore bat koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektu matematiko bat da.

Definizio matematikoa emateko hasi gaitezen oinarri eta ingurune bat definitzen:

Izan bitez ${\hat {e}}_{\alpha }$ koordenatu-sistema bateko oinarri bat eta ${{\hat {e}}'}_{\beta }$ aurrekoarekiko biraturik dagoen beste koordenatu sistema bateko oinarri bat. Era berean, izan bitez, tentsore baten osagaiak $v^{\alpha }$ eta $v^{\beta }$, hurrenez hurren aipatu ditugun bi sistemetan.

Orain, izan bedi hurrengo objektu matematikoa:

$\mathbf {V} :=v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }\equiv {v'}^{1}{\hat {e}}'_{1}+v'^{2}{\hat {e}}'_{2}+\cdots +v'^{n}{\hat {e}}'_{n}.$

Horretan, aurreko ekuazioak eta transformazioaren ekuazioak erabiliz, honako berdintasuna lortuko dugu:

$v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }=R^{-1}{}^{\alpha }{}_{\gamma }v^{\gamma }R_{\alpha }{}^{\beta }{\hat {e}}_{\beta }=R^{-1}{}^{\alpha }{}_{\gamma }R_{\alpha }{}^{\beta }v^{\gamma }{\hat {e}}_{\beta }=\delta _{\gamma }^{\beta }v^{\gamma }{\hat {e}}_{\beta }=v^{\alpha }{\hat {e}}_{\alpha }.$

Hala, hurrengoa ondorioztatzen dugu:

$\mathbf {V} =v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }=v^{\alpha }{\hat {e}}_{\alpha }.$

Beraz, objektu hori (lodiz idatzia dagonea) koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektua da, hau da, tentsorea.

Oharra: Batzuetan $v^{\alpha }$ tentsore izenez ere deitzen zaio, baina hau akatsa edo zehaztasun faltaren ondorioa da. Izan ere, $v^{\alpha }$tentsorearen osagaiak direla esan behar genuke.

Hala ere, osagaien transformazio-araua tentsorearen definiziotik abiatuta lor daiteke, hots, ekuazio honetatik. Honek tentsore ordena handiagoko kasuetara orokortzea ahalbidetzen du.

$T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}{}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}={\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{1}'}{}_{\mu _{1}}{\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{2}'}{}_{\mu _{2}}\ldots {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{n}'}{}_{\mu _{n}}R^{\nu _{1}}{}_{\nu _{1}'}\ldots R^{\nu _{l}}{}_{\nu _{l}'}T^{\mu _{1}\mu _{2}\ldots \mu _{n}}{}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}.$

Definizio zehatzagoa baduten arren, azpi- eta goi-indizeak, erreferentzi-sistema aldeketako biraketa matrizarekin batera aldatzen diren indizeak aurkako biraketarekin aldatzen direnetaz ezberdintzeko erabiltzen dira. Hau da, indize kobariante (azpi-indizeak) eta kontrabarianteen (goi-indizeak) arteko ezberdintasuna adierazten dute.

Askotan honela dio tentsorearen definizioak:

Tentsore bat koordenatu-aldaketa baten aurrean bere osagaiak tentsore bezala transformatzen dituen objektu matematiko bat da.

Definizio honek tautologikoa dirudi, baina askok tentsorearen transformazioa kanpo-definizio gisa hartzen dute, eta hori, hasiera batean esan dugun transformazioa da, hain zuzen ere.

Kanpo estekak

• Datuak: Q188524
• Multimedia: Tensors / Q188524