Zenbaki konplexu

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

Zenbaki arruntak \mathbb{N}
Zenbaki osoak \mathbb{Z}
Zenbaki arrazionalak \mathbb{Q}
Zenbaki irrazionalak
Zenbaki errealak \mathbb{R}
Zenbaki konplexuak \mathbb{C}
Zenbaki aljebraikoak
Zenbaki transzendenteak

Konplexuen hedadurak

Koaternioiak \mathbb{H}
Oktonioiak \mathbb{O}
Zenbaki hiperkonplexuak

Bestelakoak

Zenbaki kardinalak
Zenbaki ordinalak
Zenbaki lehenak
π = 3.141592654…
e = 2.718281828…
i unitate irudikaria
infinitua
Φ = 1,6180339887...

Zenbaki-sistemak

Zenbaki-sistema hamartarra
Zenbaki-sistema bitarra
Zenbaki-sistema hamaseitarra
Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki konplexuak zenbaki erreal pare batez osatutako zenbakiak dira, hurrengo eran idatz daitezkeenak:

a + ib\,

non a eta b bi zenbaki erreal diren, zati erreala eta zati irudikaria deiturikoak hurrenez hurren, eta i unitate irudikaria da, i^2=-1 propietatea betetzen duena.

Zenbaki errealen hedapen bezala, hauen eragiketak betetzen dituzte, eta beste propietate garrantzitsu batzuk ere betetzen dituzte. Adibidez, zenbaki errealetan ez bezala, polinomio orok ebazpena dauka zenbaki konplexuen multzoan.

Definizioa eta adierazpenak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki konplexuak zenbaki erreal bikote ordenatu bezala definitzen dira,

 z = (x,y)\,

Lehenengo zenbakiari zati erreala deitzen zaio eta bigarrenari zati irudikaria. Zenbaki errealak zenbaki konplexuen azpimultzo bat dira; a zenbaki erreala (a,0) zenbaki konplexu moduan idatzi daiteke. (x,0) erako zenbakiak erreal puruak deitzen dira eta (0,y) erakoak irudikari puruak. Horrela, i unitate irudikaria (0,1) zenbakia da.

Beste adierazpen era bat binomikoa da, gehien erabiltzen denetarikoa. Era honetan bi zenbaki erreal erabiltzen dira, i unitate irudikariarekin zenbaki konplexu bat eratzeko:

 z = x + iy\,

Adierazpen polarra[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki konplexu baten adierazpen polarra.

(x,y) pareak bana-banako korrespondentzia bat du plano bateko puntuekin, plano konplexua deiturikoa. Hau da, ardatz horizontala zati erreala bezala hartuz, eta bertikala zati irudikaria bezala, bertako puntuak (x,y) bikoteagatik definituak daude. Horrek ohiko era polarrean idaztea ahalbidetzen du, x = r\cos\theta eta y = r\sin\theta baitira. z = (x,y) = x + iy idazteko beste era bat, beraz, polarra da:

 z = r(\cos\theta + i \sin\theta)\,

r zenbaki konplexuaren modulua da eta θ argumentua:


\begin{cases}
r = |z| = \sqrt{x^2+ y^2} \\
\theta = arg (z) = \arctan\frac{y}{x}
\end{cases}

Zenbakiaren argumentuak infinitu balio ditu, θ eta θ + 2nπ, n = 0,±1,... balioek planoan angelu berdina adierazten baitute. Argumentuak balio nagusi bat dauka, Arg(z) bezala adierazten dena, eta (-π,π] artean dagoen arg(z)ren balio bakarra da. Horrela, arg(z) = Arg(z) + 2nπ, n = 0,±1,... da.

Adierazpen esponentziala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Euler-en formulak e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta erlazioa definitzen du. Formula horrekin adierazpen polarra alda daiteke era esponentzialera:

 z = r e^{i\theta}\,

Eragiketak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Batuketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

z_1 = (x_1,y_1) = x_1 + i y_1 eta z_2 = (x_2,y_2) = x_2 + i y_2 bi zenbaki konplexuren batuketa hurrengo eran definitzen da:

z_1 + z_2 = (x_1 + x_2,y_1 + y_2) = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)\,

Plano konplexuan batuketak batuketa bektorialaren itxura dauka. Batuketak lege trukakorra eta elkarkorra betetzen ditu:

  • z_1 + z_2 = z_2 + z_1\,
  • z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3\,

Batuketari elementu neutroa 0 = (0,0) zenbakia da.

Biderketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Batuketan adierazitako zenbaki berak erabiliz, biderketaren definizioa hurrengoa da:

 z_1 z_2 = (x_1,y_1)(x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2 , x_1 y_2 + x_ 2 y_1) \,

Definizio horretatik ikus daiteke i unitate irudikariaren karratua -1 zenbakia dela:

 i^2 = ii = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1\,,

baita (x,y) parearen eta era binomialaren arteko baliokidetasuna ere:

 z = x + iy = (x,0) + (0,1)(y,0) = (x,0) + (0,y) = (x,y)\,

Zenbakiak era polarrean edo esponentzialean adierazita badaude, non r_1, \theta_1, r_2, \theta_2 bien modulu eta argumentuak diren, biderketak hurrengo itxura hartzen du:

z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)] = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\,

Era honek erraztasunak ditu irudikapen grafikoaren orduan, biderkaduraren modulua biderkagaien moduluen biderkadura baita, eta argumentua argumentuen batura. Biderketarekiko elementu neutroa (1,0) zenbakia da, eta biderketak lege trukakorra, elkarkorra eta batuketarekiko banakorra betetzen ditu:

  • z_1 z_2 = z_2 z_1\,
  • z_1 (z_2 z_3) = (z_1 z_2) z_3\,
  • z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3\,

Modulua eta konjokatua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

z = (x,y) = x + iy zenbaki konplexu baten modulua, edo balio absolutua, |z| = \sqrt{x^2 + y^2} da. Era polarrean, |z| = r betetzen da. Moduluak propietate hauek betetzen ditu:

| z | = 0 \iff z = 0 \,
| z + w | \leq | z | + | w | \,
| z \cdot w | = | z | \cdot | w | \,

Distantzia d(z, w) = |zw| bezala definituz, zenbaki konplexuen multzoa espazio metriko bilakatzen da eta limite eta jarraitasuna azter daiteke.

z zenbakiaren konjugatua \bar{z} edo z^*\, bezala idazten da, eta ardatz errealarekiko islapena da, \bar{z} = (x,-y) = x - iy alegia. Hurrengo propietateak betetzen ditu:

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}
\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}
\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}
\bar{\bar{z}}=z
\bar{z}=z \iff z \in \mathbb{R}
|z|=|\bar{z}|
|z|^2 = z\cdot\bar{z}
z \neq 0 \Longrightarrow z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2}

Historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki konplexuen agerpena XVI. mendean izan zen, bigarren eta hirugarren mailako polinomioen erroen adierazpena aurkitu zenean, Tartaglia eta Cardano bezalako matematikarien eskutik. Nahiz eta erro errealak soilik bilatu, zenbaki negatiboen erro karratuak agertzen ziren. Zenbaki hauei irudikari izena Rene Descartesek jarri zien bere mespretxua adierazteko. XVIII. mendeak Moivre eta Leonhard Euleren lanak ikusi zituen eta zenbaki konplexuen hedapena, Caspar Wesselek 1799an interpretazio geometrikoa eman zuenean sustatu zena. Gaussen lanak garrantzitsuak izan ziren zenbaki konplexuen teorian aurreratzeko. Definizio formalerako zenbaki erreal pareen erabilera XIX. mendean eman zen.

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Zenbaki konplexu Aldatu lotura Wikidatan