Ruffiniren erregela

Matematikan, Ruffiniren erregela edozein polinomioren zatiketa x-r erako binomio batez errazten duen algoritmo bat da. Polinomio baten erroak kalkulatzeko erabil daiteke. Paolo Ruffinik asmatu zuen 1809. urtean, eta «zatiketa sintetikoaren» kasu berezia da; zatiketa sintetikoa polinomioen arteko zatiketa da non zatitzailea «faktore lineala» den. Horner-en Algoritmoak, polinomioak zatitzeko erabiltzen denak, Ruffiniren erregela erabiltzen du. Ruffiniren erregelak polinomio baten erroak aurkitu eta, erroa r zenbaki osoa izanik, (x-r) erako binomioen faktorizazioa ahalbidetzen du.

Ruffiniren metodoaren historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Polinomio baten erro hurbilduaren balioa bilatzeko Ruffini-Horner-en metodoa, Paolo Ruffinik (1804-1807-1813 urteetan egindako argitalpenak) eta William George Hornerrek (1819-1845 urteetan egindako argitalpenak) hil ostean argitaratu zuten; dirudienez, Hornerrek ez zituen Ruffiniren lanak ezagutzen.

Ruffinik Italiako Zientzia Elkarteak antolaturiko lehiaketa batean (1802) hartu zuen parte; horretan polinomioen erroak aurkitzeko metodoa bilatzen zen. Bost proposamen iritsi ziren. Bi urte beranduago (1804) Ruffinik saria lortu zuen^[1] eta ondorioz, bere metodoa argitaratua izatea lortu zuen.Metodoaren hobekuntzak argitaratu zituen 1807. eta 1813. urteetan.

Hornerren metodoa 1819. urtean argitaratu zen, eta 1845ean hobetu zen.

Ruffini-Horneren metodoak ez dauka erabilgarritasun handirik baldin eta polinomien erroak oso antzekoak badira. Ruffinik ez zuen egoera horri aurre egiteko soluziorik eman; Hornerrek, berriz, prozedura berezi bat planteatu zuen. Hornerren metodoa, De Morgan eta J.R.Young matematikariek erabili zuten.

Ruffini-Horneren metodoaren antzekoak aurkitzen dira historian zehar. Txinan esaterako, Al Samaw'al-en lanetan agertzen da n-garren erroak lortzeko prozedura bat. Sharaf al-Din al-Tusi persiar matematikaria (XII.mendea) izan zen 3. mailako ekuazio bat ebazteko prozedura bat proposatzen lehenengoa.

Algoritmoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez

P(x) polinomioa, zatikizuna:

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

Q(x) polinomioa, zatitzailea:

Q(x)=x-r\,\!

Zatidura R(x) polinomioa da:

R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}

Eta zatiketaren hondarra:

$s$

Beraz, hau bete behar da:

P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!

P(x) polinomioa Q(x) binomioz zatitzeko:

1. Lehenik, bi marra marrazten dira ardatz moduan (ikusi irudia). P(x) polinomioaren koefizienteak maila handienetik txikienera idazten dira, ezkerretik eskuinera ardatzaren goialdean. Koefizientea nulua denean 0 idazten da.

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |                                    
    |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |

2. Ardatz bertikalaren ezkerraldean r erroa idazten da. (Gogoratu r-k beti a₀ zatitzen duela). Polinomioaren lehenengo koefizientea (maila handienekoa) ardatz horizontalaren azpialdean idazten da, aldaketarik gabe:

    |        a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n
    |

3. b_n-1 r balioaz biderkatu eta polinomioaren hurrengo koefizientearen azpian jartzen da. Ondoren, bigarren zutabeko zenbakiak batzen dira (b_n-2=a_n-1+b_n-1r):

    |      a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |
  r |                b_n-1r
----|---------------------------------------------------------
    |      a_n        b_n-2 
    |

4. Prozesua sistematikoki errepikatzen da behin eta berriz:

    |       a_n        a_n-1        ...        a₁         a₀
    |
  r |                 b_n-1r       ...        b₁r        b₀r
----|---------------------------------------------------------
    |      a_n         b_n-2        ...         b₀         s
    |

Beraz, Ruffiniren erregelaren bidez honako hau lortzen da: $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=(x-r)*(a_{n}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{0})+s$ ;

$R(x)=a_{n}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$ polinomioaren maila $P(x)$ polinomioarena baino bat txikiagoa da, eta $s$ , hondarra.

Ruffiniren erregelaren aplikazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ruffiniren erregelak zenbait aplikazio ditu; gehienak, zatiketa sinple batean oinarrituak dira (aurrerago frogatuko den bezala).

1. Polinomioen arteko zatiketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez $P(x)$ (zatikizuna) eta $Q(x)$ (zatitzailea) polinomioak, non $Q(x)$ polinomioak lehenengo mailakoa izan behar duen derrigorrez.

Aplikazio hau zatiketa arruntaren baliokidea da.

Adibidez, egin dezagun

P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!

$Q(x)=x+1$

polinomioen arteko zatiketa ( $P(x)/Q(x)$ ).

Ohartu x+1 binomioa x-(-1) binomioaren baliokidea dela. Beraz, era horretan (x-(-1)) jarri behar da x-r erakoa izan dadin:

1.

Koefizienteak aldagaiaren mailaren arabera jarriko dira: handienetik, txikienera; ezkerretik, eskuinera.

    |     2     3     0     -4
    |                                    
    |                                    
----|----------------------------
    |                                    
    |

Kasu honetan, x-ren koefizientea nulua da; hortaz, 0 jarri behar da.

2.

Lehenengo koefizientea behealdean berridatziko dugu, eta r (kasu honetan, r=-1) ardatzaren ezkerraldean idatziko.

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |     2                              
    |

3.

2*(-1) = -2 dugu, eta balio hori polinomioaren bigarren koefizientearen azpian idatziko dugu. Ondoren, 3+(-2)=1 lortuko dugu, eta emaitza hori -2ren azpialdean idatziko dugu.

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |          -2                         
----|----------------------------
    |     2     1                         
    |

4.

Aurreko pausoa errepika errepikatu egingo dugu bukaerara (hondarrera) iritsi arte.

    |     2     3     0        -4
    |
 -1 |          -2    -1         1
----|-------------------------------
    |     2     1    -1         -3
    |{zatidura koefizienteak}{hondarra}

Beraz, honako hau lortu dugu:

{\frac {2x^{3}+3x^{2}-4}{x+1}}=2x^{2}+x-1+(-3)

2. Polinomioen erroak aurkitzea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erro arrazionalen teoremak dioen bezala, $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ ( $a_{n},\cdots ,a_{0}$ koefizienteak errealak izanda) polinomioaren erro arrazionalak beti $p/q$ modukoak dira, non $p$ baita $a_{0}$ -ren zatitzaile oso bat eta $q$ , $a_{n}$ -rena. Ohartu polinomioaren maila n bada, erro kopurua gehienez n dela anizkoiztasuna kontuan hartuz.

Demagun hurrengo polinomioa dugula:

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0$ . Esandakoaren arabera; $a_{0}=-2$ denez, $p=\{+1,-1,+2,-2\}$ , eta $a_{n}=1$ denez, $q=\{+1,-1\}$ . Beraz, polinomio horren erro posibleak $\{+1,-1,+2,-2\}$ dira. Hori jakinda, polinomioa $(x-r)$ -rekin zatitzen da ( $r=p/q$ ), Ruffiniren metodoa erabiliz, eta hondarra 0 bada, erroa dela ( $r$ ) ondorioztatzen da.

1. metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

$P(x)$ polinomioa, $(x-r)$ binomioarekin zatitzen saiatuko gara. Hondarra 0 baldin bada, erabilitako $r$ gure polinomioaren erroa izango da.

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                               |
 +1 |          +1    +3     +2                   -1 |          -1    -1    +2
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +3    +2      0                      |    +1    +1    -2     0

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                               |
 +2 |          +2    +8    +14                   -2 |          -2     0    +2
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +4    +7    +12                      |    +1     0    -1     0

Ohartu erro posible batekin saiakera egiten dugunean eta hondarra zeroren ezberdina denean, erro hori baztertu behar dugula (ez baita erroa izango).

{\begin{cases}x_{1}=+1\\x_{2}=-1\\x_{3}=-2\end{cases}}

2. metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

1. metodoan bezala hasiko gara erro bat aurkitu arte. Kasu honetan, behin erroa aurkituta, gure hurrengo koefizienteak ardatzaren horizontalaren azpialdean lortuak izango dira

(letra lodiz: +1 +1 -2 = $x^{2}+x-2$ ). Erro posibleetako batekin 0 lortzen ez badugu, erro hori baztertuko dugu. Aipatutako koefizienteetatik abiatuz prozedura berdina erabiliko dugu. Gogoratu erroak errepikatu ahal direla, hau da, erro anizkoitza izan daitekeela:

    |    +1    +2    -1    -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                              |
 -1 |          -1    -1    +2                   -1 |          -1    -1    +2
----|---------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +1    -2   | 0                      |    +1    +1    -2   | 0
    |                                              |
 +2 |          +2    +6                         +1 |          +1    +2
-------------------------                      -------------------------
    |    +1    +3   |+4                            |    +1    +2   | 0
                                                   |
                                                -2 |          -2
                                               -------------------
                                                   |    +1   | 0

{\begin{cases}x_{1}=-1\\x_{2}=+1\\x_{3}=-2\end{cases}}

3. Polinomioen faktorizazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aurreko atala erabiliz, (polinomioaren erro arrazionalak aurkitu ondoren); erro bakoitzari faktore lineal edo binomio bat esleituko diogu; honela:

$r=p/q$ polinomioaren erro arrazionala izanik, $(x-r)$ izango da polinomioaren faktore bat.

Adibidez:

$P(x)=8x^{2}-2x-1$ izanik, lehenik, erro arrazionalen aukerak zeintzuk diren lortuko dugu: $r=$ { $1,-1,1/2,-1/2,1/4,-1/4,1/8,-1/8$ } (Gogoratu $r=p/q$ non $p\mid a_{0}$ eta $p\mid a_{n}$ )

     |    +8    -2    -1    
     |
+1/2 |          +4    +1   
 ----|-------------------         $\Longrightarrow$   $P(x)=(x-1/2)(x+1/4)(x+8)$ 
     |    +8    +2   | 0
     |
-1/4 |          -2
 ----|--------------------
     |    +8   | 0