Minkowskiren desberdintza

Analisi matematikoan, Minkowskiren desberdintzak, Hermann Minkowskik formulatua, L^p espazioak bektore-norma bat duten bektore-espazioak direla ezartzen du. Bira S espazio neurgarri bat, 1 ≤ p ≤ ∞ eta f eta g L^p(S)-ko elementuak. Orduan, f + g ere L^p(S)-koa da, eta honako hau betetzen da:

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

berdintza 1 < p < ∞ kasuan da, baldin eta soilik f eta g guztiz linealki mendekoak badira, $\lambda$ ≥ 0 baten baterako f = $\lambda$ g edo g = $\lambda$ f dela esan nahi duena.

Minkowskiren desberdintza L^p(S)-ko desberdintza triangeluarra da.

Hölderen desberdintza bezala, Minkowskiren desberdintza segida eta bektoretarako ere zehatz daiteke honela:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

Zenbaki erreal (edo zenbaki konplexu) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n guztietarako, non n S-ren kardinala den (S-ren elementuen kopurua).

Frogapena

Lehenik, frogatuko dugu f+g baturak p-norma finitua duela, baldin f eta g biek badute, hori ondorengotik segitzen da,

$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})$

Alabaina, hor erabiltzen da $h(x)=x^{p}$ funtzio ganbila izatea $\mathbb {R} ^{+}$ multzoan ($p$ > 1 bada) eta horregatik, a eta b positiboak badira, orduan,

$\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}$

Beraz,

$(a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}$

Orain, $(\|f+g\|_{p})$ adierazpenaz hitz egin daiteke. Zero bada, Minkowskiren desberdintza betetzen da. Orain, demagun $(\|f+g\|_{p})$ ez dela zero. Hölderen desberdintza erabiliz

$\|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu$

$\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

$=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

${\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}$

$=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}$

Minkowskiren desberdintza lortzen da bi aldeak bider ${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}$ egitean.

Kanpo estekak

• Datuak: Q755092