Lankide:Arnaitz/Proba orria

Matematikan, Ruffiniren erregela polinomio bat x-r erako binomio batez zatitzea egiten duen algoritmo bat da. Polinomio baten erroak kalkulatzeko erabil daiteke. Paolo Ruffinik asmatu zuen 1809. urtean.

Ruffiniren metodoaren historia

Polinomio baten erro hurbilduaren balioa bilatzeko Ruffini-Horner-en metodoa, Paolo Ruffini-k (1804-1807-1813 urtetako argitalpenak) eta William George Hornerek (1819-1845 urtetako argitalpenak, hil ostean) argitaratu zuten; dirudienez Hornerek ez zituen Ruffiniren lanak ezagutzen.

Ruffinik Italiako Zientzia Elkarteak antolaturiko lehiaketa batean (1802) hartu zuen parte, non polinomioen erroak aurkitzeko metodoa bilatzen zen. Lehiaketa horretara 5 proposamen iritsi ziren. 1804. urtean Ruffini saritua izan zen lehen postuarekin eta bere metodoa argitaratua izatea lortu zuen. Era berean, metodoaren hobekuntzak argitaratu zituen 1807 eta 1813 urteetan.

Hornerren metodoa, berriz, 1819. urtean izan zen argitaratua eta 1845ean hobetua.

Ruffini-Horneren metodoak ez dauka erabilgarritasun handirik baldin eta polinomioak dauzkan erroak oso antzekoak badira. Ruffinik ez du egoera horri aurre egiteko soluziorik ematen, Horner-ek, berriz, prozedura berezi bat planteatzen du. Horneren metodoa, De Morgan eta J.R.Young matematikariek erabili zuten.

Metodo honen antzekoak aurkitzen dira historian zehar. Txinan esaterako, Al Samaw'al-en lanetan agertzen da n-garren erroak lortzeko prozedura bat. Sharaf al-Din al-Tusi matematikari persiarra (XII.mendea) izan zen 3. mailako ekuazio bat ebazteko prozedura bat proposatzen.

Algoritmoa

Bitez:

• P(x) polinomioa, zatikizuna:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

• Q(x) polinomioa, zatitzailea:

$Q(x)=x-r\,\!$

• Zatidura R(x) beste polinomio bat da:

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

• s zatiketaren hondarra.

Beraz, hau bete behar da:

$P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$

P(x) polinomioa Q(x) binomioz zatitzeko:

1. P(x) polinomioaren koefizienteak ordenaturik idatzi behar da. Eta ondoren, lerro bat beherago, zatitzailea den x-r binomioko r jarri behar da, irudiko marra laguntzaileekin batera:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |  
                                 

2. Ezkerreko lehenengo koefizientea behera pasa aldatu gabe:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |      an=
    |
    |      bn-1                                
    |

3. Behera pasatako koefiziente hau r balioaz biderkatu eta polinomioaren hurrengo koefizientearen azpian jarri:

  |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

4. Zutabe bereko bi balioa hauen batuketa egin:

    |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)
    |
    |      = bn-1     = bn-2                                
    |

5. 3. eta 4. pausoak errepikatu lerroa agortu arte:

   |        an        an-1        ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r       ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)   ...       a1+b1r       a0+b0r
    |
    |      = bn-1     = bn-2       ...       = b0        = s

Adibidea

Bitez:

$P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!$

$Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!$

Ohartu behar da x+1 binomioa 'x-(-1) bihurtze dela, x-r erakoa izateko:

1.

Koefizienteak jarri bere lekuan:

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |                                    
    |

Ohartu behar da polinomioan x terminoaren koefizientea 0 dela.

2.

Lehenengo koefizientea behera pasa:

    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |                                    
----|----------------------------
    |     2                              
    |

3.

-1×2=-2 egin


    |     2     3     0     -4
    |                                    
 -1 |          -2                         
----|----------------------------
    |     2                              
    |

4.

3-2=1

    |     2     3     0     -4
    |
 -1 |          -2
----|----------------------------
    |     2     1
    |

5.

Lerroa agortu arte jarraituz:

    |     2     3     0        -4
    |
 -1 |          -2    -1         1
----|-------------------------------
    |     2     1    -1         -3
    |{zatidura koefizienteak}{hondarra}

Beraz:

${\frac {2x^{3}+3x^{2}-4}{x+1}}=2x^{2}+x-1+(-3).$

2. Polinomioen erroak aurkitzea

Erro arrazionalen teoremak dioen bezala, $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$($a_{n},\cdots ,a_{0}$koefizienteak errealak izanda) polinomioaren erro arrazionalak beti $p/q$ modukoak dira, non $p$ $a_{0}$-ren zatitzaile oso bat den eta $q$ $a_{n}$-rena. Demagun hurrengo polinomioa dugula:

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0$. Esandakoaren arabera, polinomio honen erro posibleak ${+1,-1,+2,-2}$dira. Hau ezagututa, gure polinomioa $(x-r)$-rekin zatituko dugu, Ruffiniren metodoa erabiliz eta hondarra 0 ematen badigu, erro baten aurrean gaudela ($r$) ondorioztatuko dugu.

1.metodoa

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                               |
 +1 |          +1    +3     +2                   -1 |          -1    -1    +2
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +3    +2      0                      |    +1    +1    -2     0

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                               |
 +2 |          +2    +8    +14                   -2 |          -2     0    +2
----|----------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +4    +7    +12                      |    +1     0    -1     0

${\begin{cases}x_{1}=+1\\x_{2}=-1\\x_{3}=-2\end{cases}}$

2.metodoa

1.metodoan bezala hasiko gara erro bat aurkitu arte. Ondoren, beste erro posibleak erroak diren ziurtatzen jarraitu baino lehen, lehenbiziko erroak utzitako Ruffiniren emaitzarekin jarraituko dugu, koefiziente bakarra geratu arte. Gogoratu erroak errepikatu ahal direla:

    |    +1    +2    -1    -2                      |    +1    +2    -1    -2
    |                                              |
 -1 |          -1    -1    +2                   -1 |          -1    -1    +2
----|---------------------------               ----|---------------------------
    |    +1    +1    -2   | 0                      |    +1    +1    -2   | 0
    |                                              |
 +2 |          +2    +6                         +1 |          +1    +2
-------------------------                      -------------------------
    |    +1    +3   |+4                            |    +1    +2   | 0
                                                   |
                                                -2 |          -2
                                               -------------------
                                                   |    +1   | 0

${\begin{cases}x_{1}=-1\\x_{2}=+1\\x_{3}=-2\end{cases}}$

3.metodoa

• Erro arrazionalen teorema erabiliz, polinomioaren erro oso edo arrazional guztiak zehaztu.
• Erro posible bakoitzarentzat $(r)$, $P(x)/(x-r)$egin ordez, hondarraren teorema erabiliko dugu, zeinak zatiketa horren hondarra $P(r)$(polinomioan $x$jartzen duen lekuan $r$balioa ipintzea, hots, polinomioa $r$-n ebaluatzea) dela dioen.

Beraz, $r$ erro posible bakoitzerako, benetako erroa izango da baldin eta soilik baldin $P(r)=0$bada. Honek frogatzen du polinomio baten erroak aurkitzeko, ez dela beharrezkoa Ruffini-ren erregela erabiltzea.

Hala ere, behin erro bat aurkitu dugunean $(r_{1})$, datu hau erabili dezakegu $Q(x)$kalkulatzeko: $Q(x)=P(x)/(x-r_{1})$. Honek, gure polinomioa partzialki faktorizatzeko aukera ematen digu: $P(x)=(x-r_{1})Q(x)$. Gainontzeko $P(x)$-ren erro arrazionalak $Q(x)$-renak izango dira ere.