Lankide:Jon Terrazas/Proba orria

Matematikan eta ordenagailu bidezko programazioan, eragiketen hierarkia (edota eragiketen lehentasuna) adierazpen matematikoak ebaluatzeko orduan kontuan izan beharreko irizpideen bilduma da.

Adibidez, matematikan eta programazio lengoaia askotan, biderketak batuketak baino lehentasun handiagoa dauka, eta horrela izan da idazkera aljebraiko modernoaren hastapenetatik. Hori dela eta, 2 + 3 x 4 adierazpenak 2 + (3 x 4) = 14 balioa duela ulertzen da, eta ez (2 + 3) x 4 = 20. XVI. eta XVII. mendeetan zehar agertutako berreketak, batuketaren eta biderketaren gaineko lehentasuna izan zuen eta bere oinarriaren eskuineko goi-indize bezala baino ezin da adierazi. Hortaz, 3 + 5²= 28 eta 3 × 5²= 75.

Hitzarmen hauek anbiguotasuna ezabatzeko eta notazioa ahalik eta laburrena izateko sortu ziren. Konbentzio horiek saihestu edota azpimarratu nahi direnean, parentesien () (zenbaitetan giltzez {} edo kakoez [] ordezkatuta, irakurgarritasuna errazteko) erabilerak hierarkia berria ezarri dezake edo dagoena nabarmendu, nahasteak ekiditeko. Besteak beste, (2 + 3) × 4 = 20 egiturak, eragiketa egiterako orduan, batuketa biderketaren aurretik jartzen du eta (3 + 5)²= 64 eragiketak, batuketa berreketa baino lehenago.

Definizioa

Matematikan, zientzian, teknologian eta programazio lengoaia askotan erabiltzen den eragiketen hierarkia ondorengoa da:

1. berreketak eta erroketak
2. biderketak eta zatiketak
3. batuketak eta kenketak

Gauzak horrela izanda, adierazpen matematikoren batean eragingai bat bi eragilez inguraturik dagoenean, zerrendan gorago agertzen dena ebaluatuko da lehenik.

Batuketaren eta biderketaren trukakortasun eta elkarkortasun legeek batugaiak eta biderkagaiak edozein ordenan batzeko aukera ematen dute - baina bi eragiketa horiek nahasten direnean, eragiketen hierarkia errespetatu beharra dago.

Zenbait testuingurutan, lagungarri gertatzen da zatiketa biderketaz (alderantzizkoaren biderketaz) eta kenketa batuketaz (aurkakoaren batuketaz) ordezkatzea. Adibidez, aljebra konputazionalean,aldaketa horrek eragiketa bitar gutxiago sortzen ditu eta elkarkortasun eta trukakortasun legeak erabiltzea ahalbidetzen du, adierazpen luzeak sinplifikatzeko oso baliagarriak direnak. Beraz, 3 ÷ 4 = 3 × ¼; hau da, gauza bera dira 3 eta 4 arteko zatiketa eta 3 eta ¼ arteko biderketa. Era berean, 3 - 4 = 3 + (−4); hau da, gauza bera dira 3 eta 4 arteko kenketa eta 3 eta -4 arteko batuketa. Hortaz, 1 - 3 + 7 eragiketa 1 + (−3) + 7 moduko batuketa bezala aztertu daiteke, hiru batugaiak edozein ordenan batu ahal direlarik eta kasu guztietan emaitza 5 delarik.

Erroketaren ikurrak √ elkartze ikurren bat behar du errokizunaren inguruan. Ikurrik ohikoena barra bat (vinculum izenekoa) da errokizunaren gainean. Beste funtzio batzuek parentesiak erabiltzen dituzte anbiguotasuna saihesteko. Zenbaitetan, sarrera monomioa bada, parentesiak alde batera uzten dira. Hori dela eta, sin 3x = sin(3x), baina sin x + y = sin(x) + y, x + y monomioa ez delako.

Adibideak

${\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.$

Zatikien kasuan, besteak beste, marra horizontalak elkartze ikur gisa jarduten du:

${\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.$

Irakurketa errazteko, beste elkartze ikur batzuk erabili daitezke parentesiekin batera; giltzak { } edo kako zuzenak [ ], esaterako. Adibidez:

$[(1+2)-3]-(4-5)=[3-3]-(-1)=1.$

Mnemoteknia

Hitz mnemoteknikoak eragiketa segiden arauak gogorarazteko edo ebaluazioan laguntzeko erabiltzen dira. Herrialde bakoitzean hitz mnemotekniko desberdinak erabiltzen dira:

• Estatu Batuetan, PEMDAS akronimoa da zabalduena, bere esangura Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction delarik. Sarritan, "Please Excuse My Dear Aunt Sally" lelo moduan ere erabili ohi da.
• Kanadan eta Zeelanda Berrian, BEDMAS akronimoa oso zabalduta dago eskola ikasleen artean, eta Brackets, Exponents, Division/Multiplication, Addition/Subtraction ordenamendua gogoan izatea du helburu.

Hala ere, hitz mnemoteknikoak erabilgarriak suerta badaitezke ere, kontu handia izan behar dugu beraiekin, askotan akronimoak gaizki interpretatzera eraman baikaitzakete. Adibidez, aipaturiko lehen adibidean, norbaitek batuketa (addition ingelesez) kenketa (substraction ingelesez) baino hierarkia altuago batean dagoela pentsa dezake, eta 10 - 3 + 2 moduko eragiketa baten emaitza 5 dela interpretatu, benetako emaitza 9 delarik, nabaria den moduan.

Kasu bereziak

Esponentzialak seriean

Berreketa bat beste berreketa baten barruan badago, normalena goitik beherako lehentasuna egotea da, berreketa eskuinetik elkarkorra izatea ohikoena baita matematikan:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$

Aldiz, honako honek emaitza desberdin bat emango luke:

$(a^{b})^{c}=a^{bc}$

Zatiketa seriean

Antzeko gauza gertatzen da zatiketak seriean jartzean, esate baterako, 10 ÷ 5 ÷ 2 adierazpena bi modutan interpretatu daiteke:

10 ÷ (5 ÷ 2) = 4

(10 ÷ 5) ÷ 2 = 1

Ezkerretik eskuinerako lehentasunak anbiguotasuna argituko luke bigarren adierazpenaren alde. Gainera, matematikan ohitura da faktoreak konbinatzea eta zatiketa alderantzizko biderketa bezala adieraztea, anbiguotasunaren maiztasuna murrizteko. Hala ere, luze diren bi adierazpen bateratzean, eragiketen ordena zuzena galdu daiteke.

Kalkulagailuak

Kalkulagailu guztiek ez diote lehentasun bera ematen eragiketa guztiei. Kalkulagailu sinple askok ezkerretik eskuinera ematen diete lehentasuna eragiketei, hau da, 1 + 2 x 3 = 9 izango litzateke. Era berean, kalkulagailu sofistikatuek lehentasun estandarra erabiliko dute eta 1 + 2 x 3 = 7 da.

Ikus, gainera

• Elkarkortasun
• Trukakortasun
• Banakortasun
• Poloniar notazio
• Alderantzizko poloniar notazio