Bertranden bozketa ebazkizuna

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Bertranden bozketa ebazkizuna ebazkizun klasikoa da konbinatorian eta probabilitatean. Honela dio: bozketa bateko bi hautagaiek p eta q boto lortu badituzte hurrenez hurren, zenbatekoa da boto zenbaketan p boto lortu dituen hautagaia beti aurretik izateko Pp,q probabilitatea?.

P_{p,q}=\frac{p-q}{p+q}\ \ \ ;\ \ \ p \geq q

Adibidez, hautagaiek 10 boto eta 6 boto lortu badituzte hurrenez hurren, 10 boto lortu dituenak beti aurretik izateko probabilitatea hau da:

P_{10,6}=\frac{10-6}{10+6}=0.25

Argi denez, probabilitatea 0 izango da, p0, q=0 balioetarako ere argi dago formula bete egiten dela, orduan beti joango baita p boto lortu dituena aurretik eta ondorioz beti aurretik joateko probabilitatea 1 da, formulak erakutsi bezala.

p>q balioetarako formula indukzio matematikoa erabiliz froga daiteke. Horretarako kalkula bedi Pp,q probabilitatea jakinda p boto lortu dituena beti aurretik joatea, besteak q boto lortu dituela, bi era hauetara hel daitekeela: azken botoa p boto lortu dituen hautagaiarena izanda (eta hori p/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p-1 eta q botorekin, hurrenez hurren, p-1 boto lortu dituena beti aurretik joan izanda; edo azken botoa q boto lortu dituenarena izanda (eta hori q/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p eta q-1 botorekin, hurrenez hurren, p boto lortu dituena beti aurretik joan izanda. Erabateko probabilitatearen teorema erabiliz eta biderketa bakoitzaren bigarren biderkagaian emandako formula egiazkotzat hartuz:


\begin{align}
P_{p,q}&=
{p \over (p+q)}P_{p-1,q}+{q \over (p+q)}P_{p,q-1}\\
&=
{p \over (p+q)}{(p-1)-q \over (p+q-1)}+{q \over (p+q)}{p-(q-1) \over (p+q-1)}\\
&={p-q \over p+q}
\end{align}.

Hau da, formula p-1,q eta p,q-1 balioetarako betetzen bada, p,q balioetarako ere bete egiten da. Formula p>0, q=0 eta p=q; p,q>0 balioetarako betetzen denez (orduan, argi dauden Pp,q=0=(p-0)/(p+0)=1 eta Pp,q=p=(p-p)/(p+p)=0 betetzen baitira), beste p>q>0 guztietarako ere beteko da, p-1,q eta p,q-1 balioetatik p,q balioetarako jauzi edo indukzioa eginez (adibidez, Pp=1,q=1 eta Pp=1,q=0 probabilitateetatik Pp=2,q=1 probabilitatera egiten da jauzi).

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bibliografia[aldatu | aldatu iturburu kodea]