Lankide:Eapaolaza/Proba orria

8.3. Axioma

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren hedapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metriko euklidearraren hedapena da, eta bateragarria baturarekiko: $\psi$.

$\forall x,y,z\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

8.4. Proposizioa

$\forall \alpha \in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow$$\psi _{\alpha }:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ jarraia da, zeinetan: $\psi _{\alpha }(x)=\psi (\alpha ,x)$.

Froga:

Topologia metrikoetan, multzo irekien oinarri bat bola irekiek osatzen dute.

Izan bedi: $B(b,\varepsilon )$, Ikus dezagun $\psi _{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))$, multzo irekia dela.

$a=\psi (b,{\overline {\alpha }})$, hartzen bada orduan: $\psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))=B(b,\varepsilon )$, betetzen da.

$y\in \psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Rightarrow y=\psi (\alpha ,x):x\in B(a,\varepsilon )$

$e(b,y)=e(\psi _{\alpha }(a),\psi _{\alpha }(x))=e(\psi (\alpha ,a),\psi (\alpha ,x))=e(a,x)<\varepsilon$.

Ondorioz: $y\in \psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Leftrightarrow y\in B(b,\varepsilon )$, eta ondorioz: $\psi _{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))=B(a,\varepsilon )$ irekia da.

Ondorioak:

Bi ondorio. Lehena baldintza hauetan bi zenbaki irrazionalen artean existitzen dira zenbaki arrazionalak.

Bigarrena: Zenbaki berdinera konbergitzen duten,segida arrazional gorakor batek eta segida arrazional beherakor batek, puntu bakarra barneratzen dute, edo ez dute ezer barneratzen. (Zeinak gorenaren axiomara hurbiltzen gaituen).

Ondorengoa da egoera:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

Azken baieztapena, axioma moduan txertatu behar izan denak esaten du: bi puntuk osatzen duten segmentua, zenbaki batekin batuz segmentua zuzen euklidearrean trasladatzen bada, segmentuak distantzia kontserbatu egiten duela. Hots: zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren ezaugarria.

8.5. Proposizioa

$[a_{n}]\rightarrow \alpha \Rightarrow [-a_{n}]\rightarrow {\overline {\alpha }}$, zeinetan: $\psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})=[0]$

Froga:

$e([-a_{n}],{\overline {\alpha }})=e({\overline {[a_{n}]}},{\overline {\alpha }})=e(\psi ({\overline {[a_{n}]}},[a_{n}]),\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])=e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])$

$e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])=e(\psi ([0],\alpha ),\psi (\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}]),\alpha )=e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a_{n}])$

$e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a_{n}])=e(\alpha ,\psi ([0],[a_{n}])=e(\alpha ,[a_{n}])\rightarrow 0$

Notazioa: Distantzia eta ordena bereizte aldera ondorengo notazioa erabiliko da.

$[a,b]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\preccurlyeq b\}$, bitarte ertsiak zein irekiak erabiliz.

8.6. Proposizioa

Bi zenbakiren artean, existitzen da zenbaki arrazional bat.

$\alpha ,\beta \in [C(\mathbb {Q} )]:\alpha \prec \beta \Rightarrow \exists [q]\in [\mathbb {Q} ]:\alpha \prec [q]\prec \beta$

Froga:

$\alpha \prec \beta \Rightarrow [0]=\psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})$, ordena bateragarria delako barne konposizio legearekin.

$\exists n\in \mathbb {N} :[0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})$, gorputz ordenatua, arkimediarra izateagatik.

$[a,b)=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\prec b\}$adieraziko da. Orduan:

$[C(\mathbb {Q} )]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])$, bitarte erdi irekien bilketa disjuntua dela frogatuko da.

$\supset$

$\forall k\in \mathbb {Z} ,[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow$$\sum _{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]$

$\subset$

$x_{0}\in [C(\mathbb {Q} )]$ emanik, izan bedi, $E(x_{0})=\{[{\frac {k}{n}}]\in [\mathbb {Q} ]:k\in \mathbb {Z} ;[{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq x_{0}\}$

Baldin eta: $x_{0}\succ [0]$, bada, ezaugarri arkimediarragatik:

$\exists N\in \mathbb {N} :x_{0}\prec [N]=[{\frac {N\cdot n}{n}}]$, eta

$\exists M\in \mathbb {N} :{\overline {x_{0}}}\prec [M]\Rightarrow \psi ({\overline {x_{0}}},[{\overline {M}}])\prec [0]\Rightarrow$

$\Rightarrow [{\overline {M}}]=\psi (x_{0},\psi ({\overline {x_{0}}},[{\overline {M}}]))\prec \psi (x_{0},[0])=x_{0}\Rightarrow [{\overline {M}}]\prec x_{0}$

Ondorioz: $[{\overline {M}}]=[-{\frac {M\cdot n}{n}}]\prec x_{0}\prec [{\frac {N\cdot n}{n}}]\Rightarrow \exists !k\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec x_{0}\prec [{\frac {k+1}{n}}]$

$x_{0}\prec [0]$ bada $[0]\prec [{\overline {x_{0}}}]$-ren gain berdin argudiatuz emaitza lortzen da.

Orduan $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists !k,q\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}];[{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]$

I) $[q+1]\preccurlyeq [k]\Rightarrow \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {k}{n}}]\prec \alpha$, ezinezkoa.

ii) $[q]=[k]\Rightarrow [{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec \beta \prec [{\frac {k+1}{n}}]$

$\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq \psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})$

$\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})$

$[0]=\psi ([{\frac {1}{n}}],[-{\frac {1}{n}}])\prec \psi (\psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }}),[-{\frac {1}{n}}])=\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})$

Eta ondorioz: $\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec \psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})$. Zeina ezinezkoa den.

i) eta ii)-ren ondorioz: $[q]>[k]\Rightarrow [k+1]\preccurlyeq [q]$

$[{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]$

Beraz bi zenbakiren artean existitzen da zenbaki arrazional bat.

Oharra: Ondorengo proposizioek Gorenaren axiomara hurbilduko gaituzte.

8.7. Proposizioa.

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, orduan $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow [a_{n}]\leq [b_{n}]$

Froga:

Absurdura bideratuz suposa bedi: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :[b_{n_{0}}]<[a_{n_{0}}]$

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$ $\Rightarrow \forall m>n_{0},[b_{m}]\leq [b_{n_{0}}]<[a_{n_{0}}]\leq [a_{m}]$

Desberdintza zenbaki arrazionalen artekoa denez:

$0<e([b_{n_{0}}],[a_{n_{0}}])\leq e([b_{m}],[a_{m}])\leq e([b_{m}],\alpha )+e([a_{m}],\alpha )$

$e([b_{m}],\alpha )+e([a_{m}],\alpha )\rightarrow 0$ , ezinezkoa.

8.8. Proposizioa

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, orduan bi proposizio hauetako bakar bat betetzen da:

1 ) $\exists !x\in [C(\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[a_{n},b_{n}]=\{x\}$

2) $\bigcap _{n\geq 1}[a_{n},b_{n}]=\emptyset$

Froga.

Absurdura bideratuz, suposa bedi $\exists \alpha ,\beta \in \bigcap _{n\geq 1}[a_{n},b_{n}]$ eta $\alpha <\beta$.

8.6. proposizioagatik,$\exists [p],[q]\in [\mathbb {Q} ]$, non $\alpha <[p]<[q]<\beta$.

$\exists \alpha ,\beta \in \bigcap _{n\geq 1}[a_{n},b_{n}]\Rightarrow$ $\forall n\in \mathbb {N} ,[a_{n}]\prec \alpha \prec \beta \prec [b_{n}]$

Zeren $[a_{n},b_{n}]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:[a_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b_{n}]\}$

Honela zenbaki arrazionalen harteko ondorengo desberdintza betetzen da.

$\forall n\in \mathbb {N} ,[a_{n}]\prec \alpha \prec [p]\prec [q]\prec \beta \prec [b_{n}]$, eta ondorioz:

$0<e([p],[q])\leq e([a_{n}],[b_{n}])\rightarrow 0$ ezinezkoa.

Ondorioz ezinezkoa da $\bigcap _{n\geq 1}[a_{n},b_{n}]$ multzoak bi elementu edo gehio izatea.

Eta beraz elementu bakarra izango du ala multzo hutsa izango da.