Lankide:LeireAZ/Proba orria

Inplikazioak

Matematikan, P-k Q inplikatzen duela diogu, P egia den kasu guztietan Q ere egia dela. Horren adierazpena honako hau da: P $\Longrightarrow$ Q. Hala ere, aipatu beharra dago gezur batetik abiatuta egia esan daitekeela.

Inplikazioak frogatzeko metodoak

1) Inplikazio kateak

P $\Longrightarrow$ Q betetzen dela frogatu beharrean, beste kate bat sortzean datza. Hain zuzen ere, lehenik eta behin, P $\Longrightarrow$ R frogatu, eta ondoren, R $\Longrightarrow$ Q. Esate baterako, $\forall x\in R,0\leq x\leq 2\Longrightarrow -x^{3}+4x+1=0$

Hortaz, adibidean, R(x) = $-x^{3}+4x=0$ izango litzateke. Behin P $\Longrightarrow$ R frogatuta, Q = $-x^{3}+4x+1=0$ frogatu beharko litzateke, besterik ez. Orduan, P $\Longrightarrow$ R eta R $\Longrightarrow$ Q moduan frogatzea errazagoa da.

2) Kontrajartzearen metodoa

Beste metodo honen bidez ere, P $\Longrightarrow$ Q frogatzea da helburua. Baina, kasu honetan, horrela frogatu beharrean, inplikazio horren kontrajarria da frogatzen dena. Hori lortzeko, P $\Longrightarrow$ Q inplikazioaren P zein Q ukatu eta alderantziz jarri. Hau da, (P $\Longrightarrow$ Q) $\Leftrightarrow$ ($\rceil$Q $\Longrightarrow$$\rceil$P).

Adibidez, $\exists$$n\in \mathbb {N}$ $non$ $n$ $bikoitia$ $\Longrightarrow$ $n^{2}$ $bikoitia$ $den$ izanik,

P = $n$ $bikoitia$	$\rceil$P = $n$ $ez$ $bikoitia$ = $n$ $bakoitia$
Q = $n^{2}$ $bikoitia$	$\rceil$Q = $n^{2}$ $ez$ $bikoitia$ = $n^{2}$ $bakoitia$

Hori dela eta, $n$ $bikoitia$$\Longrightarrow$ $n^{2}$ $bikoitia$ frogatu beharrean, $n^{2}$ $bakoitia$ $\Longrightarrow$ $n$ $bakoitia$ dela frogatuko genuke.

3) Kontraesanaren bidezko froga

Kontraesan bat beti gezurra den enuntziatu bat da. Horregatik, P $\Longrightarrow$ Q frogatzea helburu izanik, beti gezurra izango den enuntziatu batetara iristea lortu behar da. Adibide sinple batekin errazago ikus daiteke:

Demagun, ${\sqrt {2}}$ zenbaki irrazionala dugula. Orduan, ${\sqrt {2}}$ arrazioanala balitz moduan hartuko dugu, kontraesanera iristeko.

$\exists$ $m,n\in \mathbb {Z}$ non ${\sqrt {2}}=m/n$ den. Arrazionalak zatiki bidez adierazten dira, hortaz, m eta n zenbaki lehenak izan behar dira kasu honetan.

${\sqrt {2}}=m/n$ berdintzan m isolatuz gero, $2n^{2}=m^{2}$ izatera iristen gara. Hortaz, m bikoitia da. Honen aurrean, $\exists$ $k\in \mathbb {Z}$ non $m=2k$ den.

$2n^{2}=m^{2}$ berdintza honetan, m-ren adierazpen berria ordezkatuz, $n^{2}=2k^{2}$ dela lortzen dugu. Kasu honetan, n bikoitia da ere bai.

Hori horrela izanik, kontraesanera iritsi gara. Izan ere, hasieran, m eta n zenbaki lehenak izan beharko liratekeela esan dugu, baina m eta n bikoitiak diren heinean, ez dira zenbaki lehenak izan. Hortaz, ${\sqrt {2}}$ zenbaki irrazionala dela frogatu dugu.