Lankide:OierLeo/Proba orria

Entropia klasikoa zabaltzeko bi modu estandar daude.

Goian aipatu dugunez, entropiaren forma estentsiboa berreskuratzen da espazioaren bolumena ${\displaystyle \Omega _{E,\ell }}$ zatitzen badugu $n!$-rekin. Ikuspegi alternatibo bezala, esan dezakegu ${\displaystyle n}$ aldatzean fase-espazioaren dimentsionalitatea aldatzen den eremuetan partikula kopuruarekiko menpekotasuna ezin dela ziurtatu. Halako aldaketak dimentsionalitatean ezin dira aztertu mekanika Hamiltoniarra eta Liouville-ren teoremarekin. Arrazoi horrengatik hurbilketa ona da konstante arbitrarioa ${\displaystyle n}$-ren funtzioan egotea.Funtzioa honela definituko dugu, ${\displaystyle f(n)=-{\frac {3}{2}}n\ln n}$. Beraz, honako hau dugu:

${\displaystyle {\begin{aligned}S=\ln \Omega _{E,\ell }&\approx n\ln \ell +n\ln {\sqrt {E}}+{\text{kte}}\\&=n\ln \ell +n\ln {\sqrt {E}}+f(n)\\\ln \Omega _{E,\ell ,n}&\approx n\ln {\frac {\ell }{n}}+n\ln {\sqrt {\frac {E}{n}}}+{\text{kte}}\\\end{aligned}}},$

honako propietatea betetzen duena:

$S(\alpha E,\alpha \ell ,\alpha n)=\alpha \,S(E,\ell ,n).$

Swendsenen partikula-elkartruke hurbilketa

Swendsen jarraituz, bi sistema partikulak elkartrukatzen uzten ditugu. Horrek, funtsean, fase-espazioan lekua egiten du partikulak sartu edo irten daitezen fase-espazioaren dimentsioak aldatu gabe. Partikula kopuru osoa $N$ honako hau da:

• $n_{A}$ partikulen koordenatuak $0<x<\ell _{A}.$

partikula hauen energia totala ${\displaystyle E_{A}}$ da.

• $n_{B}$partikulen koordenatuak $0<x<\ell _{B}.$

partikula hauen energia totala ${\displaystyle E_{B}}$ da.

• Hortik atera dezakegu ${\displaystyle E_{A}+E_{B}=E}$ eta $n_{A}+n_{B}=N$ direla.

Fase-espazioan integrala hartuz honako hau dugu:

$\Omega _{E,\ell ,N}=$${\displaystyle \left(\underbrace {\int dx_{?}...\int dx_{?}} _{n_{A}\;{\text{terminoak}}}\underbrace {\int dx_{?}...\int dx_{N}} _{n_{B}\;{\text{terminoak}}}\right)\left(\underbrace {\int dv_{1}\int dv_{2}...\int dv_{N}} _{\Sigma v^{2}=2E_{A}\;{\text{edo}}\;\Sigma v^{2}=2E_{B}}\right)}$

${\displaystyle =\left(\ell _{A}\right)^{n_{A}}\left(\ell _{B}\right)^{n_{B}}\left(\underbrace {\frac {N!}{n_{A}!n_{B}!}} _{\text{konbinazioa}}\right)\left(\underbrace {{\frac {n_{A}\pi ^{n_{A}/2}}{(n_{A}/2)!}}(2E_{A})^{\frac {n_{A}-1}{2}}} _{n_{A}-{\text{esfera}}}\right)\left(\underbrace {{\frac {n_{B}\pi ^{n_{B}/2}}{(n_{B}/2)!}}(2E_{B})^{\frac {n_{B}-1}{2}}} _{n_{B}-{\text{esfera}}}\right)}$

Galdera ikurraren bitartez (?) gogoratzen dugu lehen $n_{A}$ partikulak ez direla zertan A sisteman egon behar eta gainontzekoak B sisteman (hau sakonago aztertuko da hurrengo atalean). Logaritmoak hartuz eta terminorik handienak gordez, honako hau geratzen zaigu:

$S=\ln \Omega _{E,\ell ,N}{\displaystyle \approx n_{A}\ln \left({\frac {n_{A}}{\ell _{A}}}{\sqrt {\frac {E_{A}}{\ell _{A}}}}\right)+n_{B}\ln \left({\frac {n_{B}}{\ell _{B}}}{\sqrt {\frac {E_{B}}{\ell _{B}}}}\right)+N\ln N+{\text{kte.}}}$

Aurrekoa A sistemaren eta B sistemaren entropia batura bezala interpretatu daiteke, biak kantitate estentsiboak. $N\ln N$ terminoa badago ere, estentsiboa ez dena.

Parte-trukea hiru dimentsiotan ikusten

Hiru partikulako gas ideal bat bi zatitan banatua

A eta B sistemetarako formula egokiak aurkitu ditugu kontuan hartu direlako bi sistemen arteko partikula elkartrukaketa posible guztiak. Konbinatoria erabiliz kalkulatu da zenbat era ezberdinetan banandu daitezkeen $N$ partikula A sisteman $n_{A}$eta B sisteman $n_{B}$ partikula egoteko. Kontaketa hau egiteko arrazoi fisikoak egoteaz gain, fase espazioan integratzeko beharra ere badago_; izan ere, ikusiko denez, fase-espazioak ez du $n_{A}$-esfera eta $n_{B}$-esfera bakarra, horren ordez:

${N \choose n_{A}}={\frac {N!}{n_{A}!n_{B}!}}$

n-esfera pare guztiak N+1-dimentsioko abiadura-espazio berean kokatuak. Espazio eskuragarri baten gaineko integralak esfera guzti horiek barne hartu behar ditu, irudian ikus daitekeen bezala, hiru partikulaz osatuta dagoen gas bati lotutako abiadura fase-espazioa erakusten duena. Gainera, gas hau bi sistematan banatu da: A eta B.

Aldagai espazialak baztertzen baditugu, hiru partikula dituen gas baten fase espazioa hiru dimentsiokoa da. Hiru partikulak elkarrekin badaude, bi gasen artek tartea 3|0 da. Fase-espazio eskuragarria esfera arrunt batez mugatuta dago (2-esfera), ${\displaystyle {\sqrt {2E_{1}}}}$ edo ${\sqrt {2E_{2}}}$ erradioa duena (partikulak zein sistemak dituen arabera).

Banaketa 2|1 bada, orduan espazioa zirkulu eta puntuz osatuta egongo da. Zirkulu bakoitzak bi dimentsio hartzen ditu, eta zirkulu bakoitzerako hirugarren ardatzean bi puntu daude, zirkuluaren erdigunetik distantziakidea Hau da, A sstemak bi partikula baldin baditu, fase-espazio eskuragarria hiru n-esfera parez osatuta dago, bikote bakoitzak 1-esfera eta 0-esfera izanik:

$v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=2E_{A}\qquad v_{3}^{2}=2E_{B}$

$v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=2E_{A}\qquad v_{1}^{2}=2E_{B}$

$v_{3}^{2}+v_{1}^{2}=2E_{A}\qquad v_{2}^{2}=2E_{B}$

Ohartu,${3 \choose 2}=3$ dela.