Hurrengo emaitzak aukera emango digu
ez diren zenbaki osoen arteko zatiketarekin lan egiteko, zatiketa zehatza ez denean.
Adibidez,
zati
egiten badugu, zatidura
eta hondarra
aterako ditugu. Euklidesek (K. a. 300) frogatu zuen,
eta
bi zenbaki oso emanik,
izanik, zatidura bakar bat,
, eta hondar bakar bat,
,
, lortzen ditugula beti.
Zatidura eta hondarra existitzen direla frogatzeko har dezagun kontuan nola egiten dugun
zati
:
Zergatik ez da
zatidura?
delako. Hau da,
zenbaki bat bilatzen dugu, non
den; bestela esanda,
betetzen duena (beraz,
izango da). Zatidura
bada, hondarra
izango da.
Zergatik ez da
zatidura?
delako. Izan ere, “hondar” positiboa sortzen duten zenbaki oso guztien artean, ahalik eta hondar txikiena uzten duena bilatzen dugu. Hau da, zatidura izango da
ahalik eta txikiena, baina positiboa, egiten duen
zenbakia.
Bestela esanda,
multzoaren minimoa bilatzen dugu.
Ikus dezagun beste adibide bat:
izan dadin
bete behar da.
“Hondar” positibo txikiena
da eta, beraz, zatidura
da.
Euklidesek ideia hori teorema honetan zehaztu zuen:
Teorema. Euklidesen teorema
emanik,
izanik,
zatidura da,
hondarra,
zatikizuna eta
zatitzailea.
Froga.
eta
existitzen dira.
Bi kasu bereiziko ditugu:
eta
.
.
Orduan,
, non
den. Hortaz, nahikoa da
eta
hartzea, eta
beteko da,
izanik.
.
Izan bedi
multzoa. Lehendabizi,
dela frogatuko dugu:
bada,
beteko da, eta, hortaz,
da.
bada, izan bedi
. Beraz,
eta
beteko dira. Orduan,
![{\displaystyle \Rightarrow a-tb>0\Rightarrow a-tb\in S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2321f6e340faf109979612d1b3c30965ab634466)
Hortaz,
da, eta ordena onaren printzipioaren arabera,
multzoak elementu minimoa du; izan bedi
. ![{\displaystyle r\in S\Rightarrow r=a-qb>0,q\in \mathbb {Z} {\mbox{ izanik}}\Rightarrow a=qb+r,\,q,r\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}r>0{\mbox{ izanik}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dae7907fb21d9f48df9dc8bfe88cae3f8b3fb32)
dela frogatzea baino ez da geratzen. Demagun
dela; kontraesan batera helduko garela ikusiko dugu:
bada,
da eta, hortaz,
beteko da, suposatu dugun
baldintzaren kontrakoa dena.
bada,
beteko da,
izanik. Eta hortik
lortuko dugu; eta hori ezinezkoa da
delako.
eta
bakarrak dira.
Demagun
eta
izanik. Orduan,
beteko da.
Lehendabizi,
dela frogatuko dugu.
dela suposatuko dugu eta kontraesan bat aurkituko dugu.
bada,
izango dugu.
denez,
aterako dugu; eta hori ezinezkoa da
delako.
bada, arrazoibidea bera da, kontuan izanik
dela.
Hortaz,
dugu; hortik
aterako dugu.
denez,
lortuko dugu.
Adibidea.