Batezbestekorako t konfiantza-tarte

Bariantza ezezaguneko populazio normal bateko batezbestekorako konfiantza tartea, labur batezbestekorako t konfiantza-tartea ere deitzen dena, populazio normal batean batezbestekoa zenbatesteko konfiantza-tarte bat da. Honela eratzen da tarte simetrikoa $1-\alpha$ konfiantza-maila baterako:

$\mu \in {\Bigg [}\ {\overline {x}}-t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}},\ {\overline {x}}+t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}\ {\Bigg ]}$ edo, beste era batera, $\mu \in {\Bigg [}{\overline {x}}\pm t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}{\Bigg ]}$

Praktikan maiz erabiltzen den konfiantza-tartea da: $\mu$ batezbestekoa gehien estimatzen den parametroetako bat da eta populazioaren normaltasuna askotan suposatu daitekeen hipotesia da. $\mu$ batezbestekoaren zenbatesle gisa ${\overline {x}}$ erabiltzen da. Populazioaren bariantza ezezaguna denez, bere zenbatesle alboragabea den ${\hat {s}}^{2}$ quasibariantzaren bitartez zenbatesten da.

Frogapena

Konfiantza-tarte eratzeko, Studenten t banaketari jarraiki banatzen den estatistiko hau baliatzen da:

${\frac {{\overline {x}}-\mu }{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}$

Zenbatesle honetarako $1-\alpha$ probabilitate-tartea eratzen da jarraian, non $t_{\frac {\alpha }{2}}$ Studenten t banaketan bere gainetik ${\frac {\alpha }{2}}$ probabilitatea uzten duen balioa den:

$P{\Bigg [}-t_{\frac {\alpha }{2}}<{\frac {{\overline {x}}-\mu }{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}}<t_{\frac {\alpha }{2}}{\Bigg ]}=1-\alpha \rightarrow$

$P{\Bigg [}-t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}<{\overline {x}}-\mu <t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}{\Bigg ]}=1-\alpha \rightarrow$

$P{\Bigg [}-t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}<\mu -{\overline {x}}<t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}{\Bigg ]}=1-\alpha \rightarrow$

$P{\Bigg [}{\overline {x}}-t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {x}}+t_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}{\Bigg ]}=1-\alpha$

Tarte ez-simetrikoak

Egoera batzuetan, tarte asimetrikoak hobesten dira. Horietan, populazio-batezbestekoa balio batetik gorakoa edo beherakoa dela zehazten da, konfiantza maila jakin baterako. Tarte horiek eratzeko formulak hauek dira:

• populazio-batezbestekoaren gutxieneko balio baterako,

$\mu >{\overline {x}}-t_{\alpha }{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}$

• populazio-batezbestekoaren gehienezko balio baterako,

$\mu <{\overline {x}}+t_{\alpha }{\frac {\hat {s}}{\sqrt {n}}}$

non $t_{\alpha }$ Studenten t banaketan bere gainetik $\alpha$ probabilitatea uzten duen balioa den.

Lagin-tamaina handiak

Lagin-tamaina handietarako (n>30) banaketa normal estandarra erabiltzen da Student-en t banaketaren hurbilketa gisa.

Kanpo estekak

• Datuak: Q12254861