Koefiziente binomial

Konbinatorian, koefiziente binomialak edo konbinazioak multzo batetik hainbat elementu ezberdineko azpimultzo bat zenbat eratara osa daitekeen adierazten duen zenbakiak dira. Matematikan, binomio bateko berreketa garatzeko erabiltzen dira, Pascalen hirukia erabiliz.

Koefiziente binomialak konbinatorian

$C^5_3=10$, 10 eratara aukera baitaitezke 3 elementu (gorriz) 5 elementuko multzo batetik (goiko 5 ikurrak). 10 era hauetako bakoitza konbinazio bat da.

Adibidez {A,B,C,D,E,F} multzoa harturik, 6 elementu dituena, 2 elementu aukeratu behar dira. 15 eratara egin daiteke:

A,B	A,C	A,D	A,E	A,F
	B,C	B,D	B,E	B,F
		C,D	C,E	C,F
			D,E	D,F
				E,F

${n\choose k}$, n gain k irakurtzen delarik, koefiziente binomialak n elementu ezberdineko multzo batetik k elementu ezberdin aukeratzeko era kopurua, ordena kontuan hartu gabe, adierazten du. Aukeraketa bakoitzari konbinazio deritzo.

Koefiziente binomialak, n elementuko multzo batetik k elementu aukeratu behar direlarik, hainbat eratara adieraz daiteke:

$C(n,k)\,$, $n\, C\, k\,$, $C^n_k\,$, ${n\choose k}$.

Honela bada, aurreko adibidea harturik C(6,2)=15, 15 eratara aukera baitaitezke 2 elementu 6 elementuko multzo batetik.

Konbinatoriazko definizio honetan oinarrituz, n eta k zenbakiak osoak eta ez negatiboak dira. Gainera $n \geq k$, ezin baitira aukeratu daude n elementuak baino gehiago.

Binomio baten berreketa

Binomio baten berreketa garatzeko formula koefiziente binomialak erabiltzen ditu:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

Adibidez:

$(x+y)^3={3 \choose 0}x^3y^0+{3 \choose 1}x^2y^1+{3 \choose 2}x^1y^2+{3 \choose 3}x^3y^0=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$