Koefiziente binomial

Pascalen hirukia koefiziente binomialak erraz kalkulatzeko erabiltzen da

Konbinatorian, koefiziente binomialak binomio bateko berreketa garatzen duten koefizienteak dira, Pascalen hirukia erabiliz. Honela definitzen dira:

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

Adibidez:

$(x+y)^3={3 \choose 0}x^3y^0+{3 \choose 1}x^2y^1+{3 \choose 2}x^1y^2+{3 \choose 3}x^3y^0=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Kalkulua

n zenbaki oso ez negatiboa eta k zenbaki oso bat izanik, koefiziente binomiala honela definitutako zenbaki arrunta da:

${n \choose k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)} {k \cdot (k-1) \cdots 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \mbox{ ; }\ n\geq k\geq 0 \qquad (1)$

eta

${n \choose k} = 0 \quad \mbox{ ; } k<0 \mbox{ edo } k>n$

non n! n-ren faktoriala den.

Adibidea

${7 \choose 3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7\cdot 6 \cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 35.$

Koefiziente binomialak (x + y)ⁿ binomioaren garapeneko koefizienteak dira (hortik datorkio bere izena):

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k. \qquad (2)$

Ikus, gainera

• Konbinazio (konbinatoria)