Erlatibitate printzipioa

Erlatibitate printzipioa, fisikaren legeak, erreferentzia-sistema inertzial guztietan berdinak izan behar direla dioen ideia da. Hots, sistemaren barruan egiten diren esperimentuetatik ezin daiteke jakin, geldirik edo abiadura konstantez higitzen ari den. Horrez gain, printzipio honek behatzaileen arteko baliokidetasuna, fisikoki baliokide diren egoeren arteko simetriak edo inbariantzia printzipioak ezartzen ditu.

Esate baterako, erlatibitate berezian, Maxwellen ekuazioek forma bera dute erreferentzia-sistema inertzial guztietan, inbariante mantentzen dira. Ondorioz, behatzaile guztiek deskribapen fisiko bera egingo dute fenomeno elektromagnetikoei buruz, nahiz eta haien arteko abiadura erlatiboa egon.

Oinarrizko kontzeptuak

Erlatibitatearen zenbait printzipio oso zabalduak daude esparru zientifiko garrantzitsu askotan. Hedatuenetariko bat naturaren legeak edozein aldiunetan berdinak izan behar direla da; eta ikerketa zientifikoek, oro har, naturaren legeak berdinak direla suposatzen dute horiek neurtzen dituen pertsona edozein dela ere. Printzipio mota hauek ikerketa zientifikoarentzat oinarrizkoak dira.

Erlatibitatearen edozein printzipiok, naturako legeetan simetria inposatzen dute: hau da, legeak behatzaile guztientzat berdinak izan behar dira. Noether-en teorema izeneko emaitza teoriko baten arabera, halako simetria orok kontserbazio-lege bat ere suposatuko du. Adibidez, bi behatzailek une ezberdinetan lege berdinak ikusten badituzte, orduan energia izeneko kantitatea kontserbatuko da. Horren harira, erlatibitate-printzipioek naturaren portaerari buruzko iragarpen probagarriak egiten dituzte, eta ez dira zientzialariek legeak nola idatzi behar dituzten adierazten duten printzipioak.

Historia

Galileo Galilei (1564-1642)

Galileoren Erlatibitatea (XVII. mendea)

Nahiz eta erlatibitatea entzun eta burura etortzen zaigun lehenengo pertsona Albert Einstein izan, ez zen bera izan higidura erlatiboaren inguruan hitz egin zuena lehena. Ia 300 urte lehenago Galileo Galilei italiar matematikari, fisikari eta astronomoak egin baitzuen lehenengo aipamena. Galileok proposatu zuen naturaren legeak berdinak direla elkarrekiko abiadura konstantean mugitzen diren behatzaile guztientzat. Haren printzipioaren arabera, sistema inertzial baten barruan egindako esperimentu mekaniko baten bidez ezin da jakin sistema hori geldi dagoen edo zuzen eta uniformeki mugitzen ari den espazioan. Ideia hori Isaac Newtonek barneratu zuen bere mekanika klasikoan, espazioa eta denbora entitate absolutu eta bereizi gisa hartuta.

Maxwell eta XIX. mendeko Krisia

XIX. mendearen amaieran, James Clerk Maxwellen ekuazioek (elektromagnetismoa) gatazka sortu zuten Galileoren mekanikarekin. Maxwellen teoriak zioen argiaren abiadura konstantea dela, baina horrek "eterra" izeneko ingurune berezi baten existentzia iradokitzen zuen, non argia mugituko litzatekeen. Michelson eta Morleyk 1887an egindako esperimentu famatuak, ordea, ezin izan zuen eter horren presentzia detektatu, argiaren abiadura norabide guztietan berdina zela frogatuz.

Lorentz eta Poincaré-ren Trantsizioa

Einsteinen aurretik, Hendrik Lorentzek eta Henri Poincarék lan handia egin zuten. Lorentzek transformazio matematikoak garatu zituen Michelson-Morleyren emaitzak azaltzeko, baina "tokiko denbora" kontzeptu laguntzaile gisa soilik ikusten zuen, eterrean sinesten baitzuen oraindik. Poincaré izan zen, 1904an, "erlatibitatearen printzipioa" modu modernoan izendatu eta formulatu zuena, lege fisikoak berdinak izan behar zirela esanez behatzaile guztientzat. XIX. menderako ideia zabaldurik zegoen, elektromagnetismoko esparruan gehien bat. Baina formalizatu zuen lehenengoa Henri Poincaré izan zen 1904an:

“Il semble que cette impossibilité de démontrer le mouvement absolu soit une loi générale de la nature; je l’appellerai le principe de relativité.”

Albert Einstein (1879-1955)

Erlatibitate Berezia (1905)

Albert Einsteinek, 1905eko bere "Annus Mirabilis"ean, dena bateratu zuen. Bi postulatutan oinarritu zen: erlatibitatearen printzipioa eta argiaren abiaduraren konstantzia hutsean. Einsteinen berrikuntza handiena denbora eta espazioaren kontzeptu absolutuak baztertzea izan zen. Geroago, 1908an, Hermann Minkowskik espazioa eta denbora lau dimentsioko entitate bakar batean batu zituen: espazio-denbora. Einsteinek, higidura konstantea zeneko kasua aztertu zuen,

Special principle of relativity: If a system of coordinates K is chosen so that, in relation to it, physical laws hold good in their simplest form, the same laws hold good in relation to any other system of coordinates K' moving in uniform translation relatively to K.

Erlatibitate Orokorra (1915)

Einsteinek berehala ikusi zuen erlatibitate berezia sistema ez-inertzialetara (azeleratuetara) zabaldu behar zela. 1907an, bere ideia garrantzitsu bat izan zuen: baliokidetasun-printzipioa. Printzipio honen arabera, grabitazio-eremu baten eta azelerazioaren ondorioak lokalki bereizezinak dira. Horrek bidea eman zion grabitatea ez indar gisa, baizik eta espazio-denboraren geometriaren kurbadura gisa ulertzeko, prozesua 1915ean amaituz.

Formulazio klasikoa

Bi erreferentzia-sistema inertzial bata bestearengandik v abiaduraz higitzen

Sistema inertzialak

Erreferentzia-sistema inertziala da Newtonen lehen legea betetzen den erreferentzia-sistema, hau da, kanpo-indarrik ez dagoenean gorputz batek geldirik edo abiadura konstantez higitzen jarraitzen duen sistema. Hau da, elkarren artean abiadura konstantez higitzen diren sistemak dira, eta horietan fisikaren legeek forma bera dute. Kanpo-indarrik ez badago, sistema mota honetan, partikula aske bat lerro zuzenean higitzen da abiadura konstantez.

Erreferentzia-sistema ez-inertzialetan berriz, azelerazioak agertzen dira, eta horiek azaltzeko beharrezkoa da indar inertzialak sartzea. Hori dela eta, sistema inertzialak funtsezkoak dira mekanika klasikoan zein erlatibitate berezian, non behatzaile guztiek deskribapen fisiko baliokideak egiten dituzten.

Galileoren erlatibitatea

Galileoren erlatibitatea, erlatibitatearen printzipioaren bertsio klasikoa da, Isaac Newtonek bere mekanika klasikoan barneratu zuena. Printzipio honen arabera, naturaren legeak, eta bereziki mekanikarenak, berdinak dira elkarrekiko abiadura konstantean eta lerro zuzenean mugitzen diren sistema inertzial guztietan. Sistema hauetan, behatzaile batek ezin du esperimentu mekaniko baten bidez zehaztu sistema geldirik dagoen ala mugimendu uniformean, denbora eta espazioa entitate absolututzat hartzen baitira.

Galileoren erlatibitatean, sistema batetik (S) beste batera (S′) igarotzeko erabiltzen diren formulak Galileoren transformazioak dira. Suposatuz S′ sistema S ardatzean zehar $v$ abiadura konstantean mugitzen dela S sistemarekiko, ekuazioak hauek dira:

Posizioa: $r'(t)=r(t)-vt$

Abiadura: $u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v$

Azelerazioa: $a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t)$

Denborari dagokionez, Galileoren erlatibitatean denbora absolutua da $t=t'$, hau da, behatzaile guztiek denbora berdina neurtuko dute. Galileo berak azaldu zuen ondoko hitz hauekin bere "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico, e Coperniciano” lanean 1632. urtean:

Sar zaitez lagun batekin ontzi handi baten bizkar azpiko kabina nagusian, eta eraman euli, tximeleta eta beste izaki hegalari batzuk zurekin. Ur ontzi handi bat ere eraman ezazue arrain batzuekin; zintzilikatu tantaz tanta husten den botila azpian jarritako ontzi zabal batean. Ontzia pausagunean dagoenean, ikusi arretaz animaliek nola hegan egiten duten abiadura berdinarekin kabinaren alde guztietara. Arrainek axolagabe igeri egiten dute norabide guztietan; tantak beheko ontzira erortzen dira; eta, zure lagunari zerbait botatzean, ez duzu behar indar gehiagoren beharrik norabide batean botatzean edo bestean, distantziak berdinak badira. Gauza hauek guztiak arretaz behatu dituzunean (nahiz eta dudarik ez dagoen ontzia geldirik dagoenean, dena horrela gertatu behar dela),jar ezazue ontzia martxan, betiere higidura uniformea ​​bada eta gorabeherarik ez duen bitartean. Arestian aipatutako efektu guztietan ez dagoela aldaketarik txikiena ere ikusiko duzu, gainera efektu horietatik inondik ere ezingo duzu esan ontzia mugimenduan edo geldirik dagoen.

Gaur egun esperimentu bera egin dezakegu tximeleta edo saskibaloiko baloiekin itsasontzi batean, kotxean, trenean edo, hobeto esanda, abiadura konstantean dabilen edozein transportetan. Ikusi dugu sistema horietako bakoitza gure behaketetarako erreferentzia-esparru bat izango zela. Baloien eta tximeleten higidurak berdin mantentzeak erreferentzia-markoa abiadura konstantean mugitzen den ala ez kontuan hartu gabe adierazten du Newtonen higidura-legeak berdinak direla erreferentzia sistema guztientzat, beti ere hauek pausagunean edo abiadura uniforme batean higitzen badira. Ondorio hau da, Galileoren erlatibitatearen printzipioa hain zuzen ere. Era honetan idatz daiteke formalki:

Mekanikako lege guztiak berdinak dira edozein behatzailerentzat, hauek pausaguneko edo abiadura uniformean higitzen diren edozein erreferentzia sistematan badaude.

Mekanika Newtondarrean garrantzia handia du printzipio honek eta bereziki erreferentzia sistema inertzialen baliokidetasun-klaseak identifikatzea ahalbidetzen du.

Erlatibitate berezia

Formulazio modernoa

Bere aldaezintasunaren teoria formulatzean, Einsteinek egingo duena Galileoren aldaezintasuna hedatzea da, erlatibitate-printzipioa fisikako lege guztietan aplikatu behar dela adieraziz, hala nola, argia eta elektromagnetismoaren beste efektu batzuk arautzen dituzten legeetan, ez mekanikari bakarrik. Einsteinek printzipio hau bere teoriaren bi postulatuetako bat bezala erabili zuen, eta hortik atera zituen gero ondorioak dedukzioz.

Einsteinen erlatibitate printzipioa honela postulatu daiteke:

Fisikaren lege guztiak berdinak dira pausagunean edo abiadura erlatibo uniformez higitzen den erreferentzi sistema bakoitzeko behatzaile bakoitzarentzat. Horrek esan nahi du ez dagoela pausagunean edo abiadura uniformean higitzen den erreferentzi sistema izango den argitzen duen inolako esperimenturik.

Galileok postulaturikoarekin alderatuz, aldaketa bakarra mekanikako legeak idatzi beharrean fisikako legeak idazten dituela da. Aurreko erreferentzia-sistemei, erreferentzia-sistema inertzialak deritze. Erreferentzia-sistema ez inertzialak ez dira sartzen aldaezintasunaren teoriaren zatian. Muga hori dela eta, teoriaren zati hau erlatibitatearen teoria berezia bezala ezagutzen da. Beraz, erreferentzia-marko inertzialetara mugatzen da, geldirik dauden edo elkarren arteko abiadura uniformez higitzen direnak. Printzipio hau Lorentzen kobariantzan oinarritzen da, non honen arabera bi behatzaileren koordenatuak Lorentzen transformatu batekin erlazionatu badaitezke, orduan bi behatzaileentzako modu berean idatziko dira edozein bi ekuazio zeinen magnitudeak Lorentzen kobariantzarekin erlazionatu daitezkeen. Erlatibitate bereziko metrikari dagokionez, Minkowskiren metrika erabiltzen da hemen.

$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

$x$ ardatzean $v$ abiadura erlatiboarekin mugitzen diren bi erreferentzia-sistemen arteko transformazioak hurrengoak dira,

${\begin{aligned}x'&=\gamma (x-vt)\\t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

non $\gamma$ Lorentzen faktorea den. Ohartu abiadura oso txikia bada argiaren abiadurarekin alderatuz, $\gamma =1$ egiten dela eta Galileoren erlatibitatea berreskuratzen dela.

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Kasu honetan espazio-denborako tartea defini daiteke, inabariantea izango dena, hau da, ez da behatzailearen araberakoa izango, erreferentzia-sistema guztietan berdina neurtuko da.

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$

$ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }$

Transformazioak Einsteinen notazioa erabilita ere idatz daitezke,

$x'^{\mu }=\Lambda _{\ \nu }^{\mu }x^{\nu }$

Maxwellen ekuazioen inbariantza

Maxwellen ekuazioen inbariantza erlatibitate bereziaren sorreraren arrazoi eta zutabe nagusietako bat da. XIX. mendearen amaieran, fisika klasikoak krisi bat bizi zuen: James Clerk Maxwellen lege elektromagnetikoak eta mekanika klasikoa gatazkan zeuden. Maxwellen ekuazioak ez ziren inbarianteak Galileoren transformazio menpean; horrek esan nahi zuen, mekanika klasikoaren arabera, lege elektromagnetikoak desberdinak izan beharko zirela behatzailearen abiaduraren arabera.Gatazka hori agerian geratu zen iman baten eta eroale baten arteko interakzioan. Klasikoek bi azalpen desberdin ematen zituzten behatzailea imanean edo eroalean egon, efektu fisikoa bera izan arren.

Albert Einsteinek, 1905eko bere artikuluan, erlatibitatearen printzipioa elektromagnetismora hedatu zuen: lege fisikoak, elektrodinamikarenak barne, berdinak dira elkarrekiko mugimendu uniformean dauden sistema inertzial guztietan. Maxwellen legeen inbariantza bermatzeko, Einsteinek Galileoren transformazioak baztertu eta Lorentzen transformazioak erabili zituen. Horrela, frogatu zuen Maxwellen ekuazioek egitura matematiko bera mantentzen dutela sistema inertzial batetik bestera igarotzean, baldin eta espazio-koordenatuekin batera denbora ere transformatzen bada.

$F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

Erlatibitate berezian, elektromagnetismoa modu bateratuan deskribatzen da eremu-tentsore elektromagnetikoaren bidez, $F_{\mu \nu }$. Tentsore hau potentzial elektromagnetikotik definitzen da:

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

eta bere barruan eremu elektrikoa eta magnetikoa bateratzen dira. Izan ere, $F_{\mu \nu }$ matrize moduan idatzita, bere osagaiek zuzenean ematen dituzte ${\vec {E}}$ eta ${\vec {B}}$ eremuak. Maxwell-en ekuazioak forma kobariantean honela idazten dira:

${\displaystyle F_{\mu \nu$ ;\lambda }+F_{\nu \lambda ;\mu }+F_{\lambda \mu ;\nu }=0}

${\displaystyle F_{\$ ;\nu }^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }}

eta horrek erakusten du lege hauek Lorentzen transformazioen aurrean inbarianteak direla. Horrela, eremu elektrikoa eta magnetikoa ez dira entitate independenteak, baizik eta behatzailearen erreferentzia-sistemaren arabera elkarren artean nahasten diren magnitudeak.

Einsteinen erlatibitate orokorraren printzipioa

Erlatibitate Orokorra, Albert Einsteinek 1915ean burututako teoria, erlatibitate bereziaren orokortzea da, grabitazioa indar konbentzional baten ordez espazio-denboraren geometriaren ondorio gisa txertatzen duena. Teoria honen oinarria baliokidetasun-printzipioa da: grabitazio-eremu baten barruan erorketa askean dagoen sistema bat eta sistema inertzial bat bereiztezinak dira fisikoki, inertziaren eta grabitatearen izaera bateratuz. Horrela, espazio-denbora lau dimentsioko Lorentzen barietate gisa modelatzen da, non metrika materiaren eta energiaren banaketak zehazten duen.

Erlatibitate orokorraren printzipioa aurreko ataleko erlatibitate bereziaren orokorpen bat da. Arestian esan dugun moduan erlatibitate berezian erreferentzia-sistema inertzialak soilik sartzen dira. Honetan ordea erreferentzia sistema guztiak hartzen ditu kontuan. Horrela adieraz daiteke:

Kobariantza printzipioak edo erlatibitate printzipio orokorrak dio fisikaren legeek forma bera hartu behar dutela erreferentzia sistema guztietan, erreferentzia sistema inertzial zein erreferentzia sistema ez-inertzialetan.

Hau erlatibitate bereziaren printzipioaren orokortzea da. Kobariantza printzipioa da Einsteinek erlatibitate bereziaren teoria orokortzera eraman zuen motibazio nagusietako bat. Erlatibitatearen teoria berezia espazio lauko espazioaren eta denboraren arteko erlazioan oinarritzen da, eta ez dago efektu grabitatoriorik. Erlatibitatearen teoria orokorra espazio-denborazko kurbaduran oinarritzen da eta grabitatea kontuan hartzen du. Erlatibitatearen teoria berezia baino abstraktuagoa da.

$g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}$

Einstein-en notazioa

Einsteinen notazioa, Einsteinen batuketa-hitzarmena izenez ere ezaguna, ekuazio matematikoak eta bereziki tentsoreen arteko erlazioak modu trinkoagoan idazteko arau bat da. Hitzarmen honen funtsa da gai bakar baten barruan indize bat bi aldiz agertzen bada, indize horrek har ditzakeen balio guztien gaineko batuketa inplikatzen duela. Notazio honek bide eman zuen erlatibitate orokorreko ekuazio konplexuak, dimentsio anitzeko kalkuluak behar dituztenak, modu oso trinkoan adierazteko, ohiko batukari ikurra (∑) idazteko beharra ezabatuz.

Erlatibitate orokorraren esparruan, notazio hau funtsezkoa da espazio-denboraren geometria eta materia-energia edukia lotzen dituzten tentsoreak deskribatzeko. Adibidez, Einsteinen eremu-ekuazioetan ($G_{\mu \nu }$=$\kappa$$T_{\mu \nu }$​), $\mu$ eta $\nu$ indizeek espazio-denborako osagaiak adierazten dituzte, eta hitzarmen honi esker, ekuazio bakar baten bidez adierazten da materia-energiak ($T_{\mu \nu }$) espazioari nola kurbatu agintzen dion dinamika konplexua. Tresna matematiko honek, Hermann Minkowskik hasitako tentsore-kalkuluaren ekarpenekin batera, Einsteini espazio-denbora lau dimentsioko barietate kurbatu gisa modelatzea ahalbidetu zion.

Ekuazio garrantzitsuenak

Espazio-denborako tartea

Espazio-denborako tartea, erlatibitate orokorrean oinarrizko magnitudea da, bi gertakariren arteko distantzia espazio-denboran definitzen duena. Adierazpen honetan, $g_{\mu \nu }$ tentsore metrikoak espazio-denboraren geometria eta kurbadura zehazten ditu, eta, ondorioz, grabitazio-eremuaren informazioa biltzen du. Tarte hau inbariantea da koordenatu-sistema guztietan, eta horrek esan nahi du behatzaile guztiek balio bera neurtzen dutela.

$ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }dx^{\nu }$

Einstein-en eremu ekuazioa

Einstein-en eremu ekuazioek espazio-denboraren geometriaren eta materia-energiaren arteko erlazioa ezartzen dute. Ekuazio honetan, $G_{\mu \nu }$​ Einstein tentsoreak kurbadura adierazten du, eta $T_{\mu \nu }$​ energia-impultsio tentsoreak materia eta energiaren banaketa deskribatzen du. Horrela, ekuazio honek adierazten du materia-energiak espazio-denboraren kurbadura zehazten duela, eta hori dela grabitazioaren jatorria.

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

Geodesikoen ekuazioa

Geodesikoak

Geodesikoen ekuazioak partikula askeen mugimendua deskribatzen du espazio-denbora kurbatuan. Ekuazio honen arabera, indar ez-grabitazionalik gabe higitzen diren partikulek geodesikoak jarraitzen dituzte, hau da, espazio-denboran “ibilbide zuzenenak”. Christoffel-en ikurrek metrikaren aldaketak kontuan hartzen dituzte, eta horien bidez agertzen da grabitazioaren eragina partikulen mugimenduan.

Kanpo estekak

• Datuak: Q945995