Izan bedia {an}n€N zenbaki errealen segida. {an}n€N Cauchyren segida dela diogu baldin eta ;
Izan bedia {an}n€N zenbaki errealen segida.
{an}n€N konbergentea
{an}n€N Cauchyrena
) Izan bedi
eta har dezagun
edozein. Orduan existitzen da
non,
guztietarako
.
Izan bitez
.
beraz {an}n€N Cauchyrena da.
) Orain suposatzen dugu {an}n€N Cauchyrena dela. Ikus dezagun bornatua dela.
Izan bedi
. {an}n€N Cauchyrena denez, existitzen da
non
guztietarako,
den. Orduan
guztietarako,
.
{an}n€N segidaren borne bat da, hau da,
guztietarako, beraz {an}n€N bornatua da.
Orain, Bolzano-Weierstrassen teoremaren arabera existitzen da
{an}n€N segidaren azpisegida konbergentea. Izan bedi
eta kontsidera dezagun
edozein.
{an}n€N Cauchyrena
Izan bedi
.
guztietarako
denez
Beraz,
da.