Lankide:Anazj/Riemannen geometria

Riemann-en geometria Riemann-en barietateak aztertzen dituen geometria diferentzialaren adarra da. Riemannen barietateak Riemannen metrikan oinarritutako barietateak dira. Espazio tangentearen puntuetan biderkadura eskalarra dute, puntuz puntu leun aldatuz doana. Horrek, angeluaren, arku-luzeraren, gainazalen azaleraren eta bolumenaren nozio lokalak ematen ditu. Horietatik, beste kantitate global batzuk erator daitezke integrala aplikatuz.

Riemann-en geometria Bernhard Riemannek "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("Geometriaren oinarri diren hipotesiei buruz") izenburuarekin eman zuen inaugurazio-hitzaldiarekin hasi zen. R³-ko gainazalen geometria diferentzialaren orokortze zabal eta abstraktua da. Riemannen-en geometriaren garapenak gainazalen geometria eta haien geodesikoen portaera sistetizatu ahal izatea ekarri zuen, eta dimentsio handiagoko barietate diferentziagarriak aztertzeko erabil daitezkeen teknikak aplikatu ahal izatea. Horri esker, Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorra formulatu ahal izan zen. Gainera, eragin handia izan zuen talde-teorian eta adierazpenaren teorian, bai eta azterketan ere, eta topologia aljebraikoaren eta topologia diferentzialaren garapena bultzatu zituen.

Sarrera

Bernhard Riemann

Riemannen geometria Bernhard Riemannek aurkeztu zuen lehen aldiz XIX. mendean. Puntu batetik bestera propietate metriko desberdinak dituzten geometriak aztertzen dira, baita geometria ez-euklidestar mota estandarrak ere.

Barietate leunek Riemannen metrika onartzen dute, eta horrek, maiz, topologia diferentzialeko problemak ebazten laguntzen du. Halaber, konplexuagoak diren barietate sasi-Riemanndarrak (edo, erdi-Riemandarrak) aztertzeko ere balio du. Egitura horiek, lau dimentsiotan, erlatibitate orokorraren teoriaren objektu nagusiak dira. Riemannen geometriaren beste orokortze bat Finsler-en geometria da.

Geometria diferentzialak eta kristal erregularretan sortzen diren egitura matematikoek badute halako antzekotasun bat haien artean. Dislokazioek (Taylor's dislocation) eta desklinazioek (disclination) bihurdurak eta kurbadurak eragiten dituzte.

Artikulu hauek sarrera moduan irakurtzeko egokiak dira:

• Metrika tentsore
• Riemannen barietate
• Levi-Civita konexioa
• Kurbadura
• Riemann-en kurbadura-tentsore
• Geometria diferentzialeko gaien zerrenda
• Riemannen geometriari eta geometria metrikoari buruzko glosategia

Teorema klasikoak

Jarraian, Riemannen geometriako teorema klasikoenen zerrenda osatu gabea dago. Formulazioaren garrantziaren eta dotoretasunaren arabera aukeratuak izan dira. Emaitza gehienak Jeff Cheeger-en eta D. Ebin-enen monografia klasikoan aurki daitezke (ikus beherago).

Emandako formulazioak ez dira oso zehatzak. Oinarrizko definizioak ezagutzen dituztenei zuzenduta dago zerrenda.

Teorema orokorrak

1. Gauss–Bonnet-en teorema. Bi dimentsioko Riemannen-en barietate trinko batean, Gauss-en kurbaturaren integrala 2πχ(M) da, non χ(M) notazioaren bidez Eulerren karakteristika adierazten den. Teorema honen orokorpena existitzen da, dimentsio bikoitiko Riemannen-en barietate trinkoetarako, (Gauss-Bonnet-en teorema orokortua).
2. Nash-en txertatze-teoremak (Nash embedding). Teorema horien arabera, Riemannen barietateak Rⁿ espazio euklidear batean txertatuak egon daitezke modu isometrikoan.

Geometria handia

Ondorengo teorema guztietan, espazioaren portaera lokalen bat suposatzen da. Normalean kurbaduraren suposizioa eginez formulatzen da eta horri esker, espazioaren egitura globalari buruzko informazioa lortzen da, hala nola, barietatearen topologia motari buruzko informazioa edo nahi adina distantzia handira dauden puntuen portaerari buruzko informazioa.

Atalkako kurbadura zurbila (pinched sectional curvature)

1. Esferaren teorema.
2. Cheeger-en finitutasunaren teorema.
3. Gromov-en barietate ia lauak

Behetik bornatutako atalkako kurbadura

1. Cheeger–Gromoll-en soul teorema.
2. Gromov-en Betti-zenbakiaren teorema.
3. Grove–Petersen-en finitutasunaren teorema.

Goitik bornatutako atalkako kurbadura

1. Cartan–Hadamard-en teorema.

Behetik bornatutako Ricciren kurbadura

1. Myers-en teorema.
2. Bochner-en formula.
3. Splitting-teorema.
4. Bishop–Gromov inekuazioa.
5. Gromov-en trinkotasun-teorema.

Ricci-ren kurbadura negatiboa

1. Ricci-ren kurbadura negatiboa duen Riemannen barietate trinkoen isometria talde diskretua da.
2. n ≥ 3 dimentsioko barietate leunek Ricci-ren kurbadura negatiboko Riemannen metrika onartzen dute (gainazaletan ez da betetzen).

Eskalar positiboko kurbadura

1. Torus ez-dimentsionalak ez du onartzen kurbadura eskalar positiboko metrikarik.
2. Riemannianeko kolektore trinko n-dimentsional baten injekzio-erradioa ω bada, batez besteko kurbadura eskalarra n(n-1) izango da gehienez.

[[Kategoria:Riemanndar geometria]]