Lankide:Bufalu/Proba orria

Estruktura kausalak barietate lorentzdar bateko puntuen arteko erlazio kausalak deskribatzen ditu.

Sarrera

Fisika modernoan (bereziki erlatibitate berezian) espazio-denbora aldagai lorentzdar baten bidez deskribatzen da eta honen puntuen arteko erlazio kausalak interpreta daitezke deskribatuz espazio denborako zein gertaerek eragin dezaketen besteen gainean.

Geometria lorentzdarreko adibide arrunt bat Minkowskiren espazio-denbora da. Bertako puntuen arteko erlazio kausalak partikularki sinpleak dira espazio-denbora laua dugulako kasu honetan.

Halere, geometria lorentzdar arbitrario bateko estruktura kausala zertxobait konplikatuagoa izan daiteke ager daitezkeen kurbaturen ondorioz. Aldagai hauetako erlazio kausalak puntuen arteko kurba diferentziagarrien bidez ezartzen dira, kurba hauentzako baldintza batzuenpean, zeintzuek erlazio kausalak definitzen dituzten.

Bektore tangenteak:

(M,g) bezalako aldagai lorentziarra izanik, M aldagaiaren non g puntu bakoitzeko metrika dugun(puntu guztietan lorentzdarra), puntu bakoitzeko espazio tagenteak definizioz Minkowskiren espazioko estruktura berdina izango du. Horrela, X bektore batentzat hiru mota desberdineko bektore tangenteak dauzkagu:

• Denbora motakoak g(u,u)<0
• Argi motakoak g(u,u)=0
• Espazio motakoak g(u,u)>0

Minkowskiren espazio-denboran M=R4 dugu eta g Minkowskiren metrika laua, bertatik datoz bektore tangente mota desberdinen izenak. Espazio-denora honetako erlazio kausalak forma sinpleak hartzen dituzte espazio tagentea ere R4 delako eta ondorioz bektore tangenteak espazioko puntu gisa identifika ditzakegu. X=(t,r) lau dimentsiodun bektorea g(X,X)=c2t2-|r|2 ren zeinuaren arabera sailkatzen da (r barne R3 3-dimentsioko espazioaren koordenatu kartesiarrak, c argiaren abiadura, muga abiadura unibertsala). Bektoreen espazioko sailkapenak berdinak izango dira Lorentzen transformaziopeko erreferentzia sistementzat metrikaren inbariantzaren ondorioz.  

Denbora orientabilitatea 

Minkowskiren identikoa den estruktura honek, gertaera baten inguruko erlazio kausalak bistaratzea ahalbidetzen du. Izatez, puntu bakoitzean iragana eta etorkizuna desberdindu daitezke argi konoa bi baliokidetasun-klasetan banatuz, etorkizunera zuzendua eta iraganera zuzendutakoa.

X eta Y puntu bateko espazio motako bektore tangenteak izanik, X eta Y baliokideak (X~Y) dira, hau da, baliokidetasun-klase berekoak,  baldin eta g(X,Y)<0 bada. Halako klase banantzeak puntuetan egindako denbora-geziaren aukeraketaren araberakoak izaten dira. Gezi-denboraren kontzeptuak denborak aurrera egiten duen norabidea definitzen du, baina ez da derrigorrez espazio-denbora osoan zehar hedatzen. M barietate lorentzdar bat denboran orientagarria dela esaten da puntu orotan baliokidetasun-klasea modu jarraituan zehaztu badaiteke. Baliokidea dena, aldagai bat denboran orientagarria da baldin eta soilik baldin denbora motako eremu bektorial jarraitu bat, ez dena puntu bakar batean ere anulatzen, badauka.

Hau da espazio-denbora  batek izan bete behar duen baldintza minimoa gertaeren arteko estruktura kausalaz hitz egin nahi baldin badugu. Espazio-denbora ez bada denboran orientagarria, orokorki ezingo dugu esan behatzaile baten ibilbideak denboran aurrera edo atzera egiten duen.

(Ondorengo sekzioetan kontsideratuko dugu denboran orientagarria den espazio-denbora betan lan egiten ari garela).

Kurbak:

M-ko bide lau jarraitu bat μ:Σ→M non tarte ez-endakatu bat (puntu bat baino gehiago konektatzen dituen bilduma) den R-n. Bide leun bat μ diferentziagarria da egokia izan daitekeen bezain bestetan (normalean Cinf) eta azkenik bide erregularrek deribatu ez-nuluak dauzkate.

M-ko kurba bide irudien baliokidetasun-klase bat da birparametrizazio baten bidez erlazionatuak (homeomorfismoa edota difeomorfismo baten bidez Σ-en). M denbora orientagarria denean kurba orientatua dago parametro aldaketa funtzio monotonoa baldin bada. Horrela, kurba erregular lauak hauen bektore tangenteen izaeraren arabera sailka ditzakegu:

• Kronologikoak  edo denbora motakoak bektore tangentea kurbako puntu orotan denbora motakoa baldin bada. Mundu marra bezala ezagutua.
• Nulua edo argi motakoa bektore tangentea kurbako puntu orotan nulua baldin bada.
• Espazio motakoa bektore tangentea espazio-motakoa baldin bada kurbako puntu orotan.
• Kausala, bektore tangentea denbora motakoa edota argi motakoa baldin bada kurbako puntu guztietan zehar.

Σ-en propietateek ziurtatzen dute kurba itxi kausalak ez direla automatikoki espazio-denbora guztietan onartuak.

Aldagaia denboran orientagarria baldin bada, espazio motakoak ez diren kurbak denborarekiko duten orientazioaren arabera sailkatu daitezke:

M-ko kurba kronologiko bat,

• Etorkizunera zuzendua da kurbako puntu guztien bektore tangenteak etorkizunera zuzenduak badira.
• Iraganera zuzendua da kurbako puntu guztien bektore tangenteak iraganera zuzenduak badira.

Kurba kausalak bakarrik sartzen dira sailkapen berri honetan. Izan ere, hauei soilik ezarri ahal zaizkie denborarekiko orientagarritasuna. Horrela,

• Denbora motako kurba itxia kurba osoan zehar etorkizunera (edo iraganera) zuzendua den  denbora motako kurba itxia da.
• Kurba itxi nulua kurba osoan zehar etorkizunera (edo iraganera) zuzendua den  kurba nulua itxia da.

Erlazio kausalak

M aldagaiko x eta y puntuen arteko erlazio kausalak sailka ditzekegu:

• x y-ren kronologikoki aurretikoa da (x<<y) baldin eta x-tik y-ra doan etorkizunera zuzendutako kurba kronologiko (denbora motakoa) bat existitzen bada.
• x y-ren hertsiki kausalki aurretikoa da (x<y) baldin eta x-tik y-ra doan etorkizunera zuzendutako kurba kausal (espazio motakoa ez dena) bat existitzen bada.
• x y-ren kausalki aurretikoa da (x<=y) baldin eta x y-ren hertsiki kausalki aurretikoa bada edo x=y.

Bestalde, aldagaiko x puntu bat izanik, defini ditzakegu

• x-ren etorkizun (iragan) kronologikoa,  x-rekin etorkizunera (iraganera) zuzendutako denbora kurba baten bidez lotzen diren puntuen bilduma: I+(I-)={ycM|existitzen da lambda(t) denbora motakoa etorkizunera (iraganera) zuzendua non lambda(0)=x eta lamnbda(1)=y(lambda(0)=y eta lamnbda(1)=x)}.
• x-ren etorkizun (iragan) kausala,  x-rekin etorkizunera (iraganera) zuzendutako kurba kausal baten bidez lotzen diren puntuen bilduma: J+(J-)={ycM| existitzen da lambda(t) kausala etorkizunera (iraganera) zunzendua non lambda(0)=x eta lamnbda(1)=y(lambda(0)=y eta lamnbda(1)=x)}.
• X-ren etorkizuneko kono nulua, M-ko y puntu guztien bilduma non x-> y.
• X-ren iraganeko kono nulua, M-ko y puntu guztien bilduma non y-> x.
• Argi konoa, etorkizuneko eta iraganeko kono nuluen bildura.

Laburbilduz, Minkowskiren espazio-denboran esan dezakegu I+(x) puntuen bilduma etorkizuneko argi konoaren barnea dela eta J+(x) puntuen bilduma etorkizuneko argi konoa osotasunean (konoaren gainazala barne).

Horrela, bilduma guzti hauek I+, I-, J+ eta J- M-ko x guztietarako definituak, M-ren estruktura kausala definitzen dute.

M-ren azpimultzoekin lan eginez. Demagun S M-ren azpimultzoa dela;

I+-

J+-

S,T M-ren bi azpimultzo izanik;

• S-ren etorkizun kronologikoa T-rekiko I+(S;T) S-ren etorkizun kronologikoa da T-ren subaldagai gisa kontsideratua.
• S-ren etorkizun kausala T-rekiko I+(S;T) S-ren etorkizun kausala da T-ren subaldagai gisa kontsideratuz.
• Etorkizun bilduma bat,  etorkizun kronologikopean sortutako bilduma bat da.
• Iragan bilduma bat,  iragan kronologikopean sortutako bilduma bat da.

Propietateak

• x puntu bat I-(y)-n dago baldin eta soilik baldin y I+(x)-n badago.
• x ⋨y  🡪 I-(x) c I-(y)
• x ⋨y  🡪 I+(y) c I+(x)
• I+(s)
• I-(s)

Espazio-denborako estruktura kausala

Espazio-denborako erlazio kausalak Minkowskiren espazio-denborakoen identikoak dira. Halere, nahiz eta denboran orientagarriak izan badaude espazio-denbora berezi batzuk non denbora kurba itxiak aurki ditzakegun:

• Denbora kurba itxi bat lambda(t) kurba ez-tribial bat da gertaera berean hasi eta amaitzen dena lambda(0)= lambda(1) eta kurba konstantea ez dena, lambda(t)=p, da.

Halako espazio-denborek ez dute garrantzi fisiko handirik behintzat ezaguna den materiaren baldintzapean. Hori dela eta, badirudi logikoa dela halako kurbarik ez duten espazio-denborekin lan egitea. Hala ere, nahiz eta espazio-denborek mota honetako kurbarik ez izan, posiblea da hauen antzekoren bat izatetik hurbil egotea, kurba “ia itxiak” zeintzuk hasierako puntutik hurbil igarotzen diren. Horrela, eremu grabitazionalaren perturbazio txiki batek kurba “ia itxi” hauek kurba itxi bihur ditzake.

• Espazio-denbora bat indartsuki kausala dela esaten da edozein G gertaera baten inguruan existitzen badira inguruneak non ez dagoen kurba kausalik hauek behin baino gehiagotan zeharkatzen dituztenik.

Halako espazio-denborek ez dute inolako denbora kurba “ia itxirik”. Halere ezin da deskartatu perturbazioen biden kurba itxiak sor daitezkeenik. Edonolako kurba itxiak saiestu ditzakeen kausalitatea lortu ahal izateko bestelako definizio bat bilatu beharko dugu

• (M,g) espazio-denbora egonkorki kausala da, denbora motako t eremu bektoriak jarraia existiitzen bada, ez-nulua puntu guztietan, non (M,g’) espazio-denborak, g’=gtt, kurba itxirik ez duen.

t eremu bektorialaren bidez g’ metrika metrika lorentzdar onargarria izango da. Gainera, honen argi konoa hertsiki handiagoa izango da;g-rekiko edozein denbora bektore edo betore nulu g’-rekiko denbora bektorea edo bektore nulua izango da (aurkakoa ez da egia). Bestelako definizio baliokide bat:

• Espazio-denbora egonkorki kausala da baldin eta soilik baldin existitzen bada t funtzio bat non honen gradientea iraganera zuzendutako eremu bektoriala den.

Big-bang singularitateen estruktura kausala:

FMRL modeloaren arabera denboraren edozein momentutan tcI, non IcR tarte bat den, espazioa a(t) faktoreaz eskalatutako Riemann-en hiru dimentsioko espazioa dugu. Metrika osoa lortzeko deformatze produktua har dezakegu Riemmann-en espazioen artean (I,-dt2) eta (E,gE) deformatze funtzioarekin a: I🡪R, ds2=-dt2+a2(t)dE2

E espazioa, printzipio kosmologikoa betetzen duen bat hartzen da normalean, homogeneoa eta isotropoa, baina Riemannen barietateko edozein izan daiteke: dE2=dr2/1-kr2 +r2(do2+sin2dfi)

k-k espazioa ematen digu, k=1 🡪3-espera S3, k=0 🡪espazio euklidearra R3, k=-1 🡪espazio hiperbolikoa H3.

Singularitateen estruktura kausalak

Big-bang singularitatearenren estruktura kausala

FLRW singularitatean estruktura kausalak bere horretan jarraitzen du. Izan ere, aurreko ekuazioak garatuz, aldagai aldaketa batzuen bidez, ikusten duguc.

Horrela, estruktura kausala -dt’2 +dE2 metrikaren identikoa dela lortzen da, ez-endakatua. Izan ere, E=R3 hartuz Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu. Estruktura kausalaren topologia berbera da puntu guztietan, estruktura kausala unibertsala bilakatuz. Metrika tentsorea bestalde desberdina izango da singularitatean, endakatzen delako.

Orokortzeko, homogeneitatea eta isotropia alde batera utziz, E metrika denboraren funtzioaz gain espazioaren funtzio ere izan daiteke. Hau da, dE2t denboraren funtzio ere izango dugu, , ds2=a2(t’)(-dt’2+dE2t). Endakatua izango da a=0 denean. Horrez gain, estruktura kausala -dt’2 +dE2 metrikaren identikoa dela lor dezakegu hemen ere, ez-endakatua.