Pitagorasen teorema[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pitagorasen teoremak ezartzen du, edozein triangelu angeluzuzenetan, hipotenusaren luzeraren karratua bi katetoen luzeren karratuen berdina dela.

Pitagorasen Teorema

Triangelu angeluzuzen baten katetoen karratuen batura, hipotenusaren karratuaren berdina da.

Pitagoras

Demagun triangelu angeluzuzen bat dugula, non a eta b deituriko katetoak ditugun, eta hipotenusaren neurria c izanik, hurrengo erlazioa betetzen da:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Ekuazio honetatik, egiaztapen aljebraiko eta aplikazio praktikodun hiru ondorio deduzitzen dira:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$ $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$ $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pitagorasen teorema, Pitagoras izeneko greziar filosofo eta matematikariak frogatu zuen VI. mendean. Hala ere, badirudi teorema hori Pitagoras jaio aurretik aurkitu zela eta beste izen batekin frogatu zela.

Pitagorasen teoremak izen hau hartu zuen, batez ere, bere frogapena eskola pitagorikoari zor zaiolako. Lehenago, Mesopotamian eta Antzinako Egipton, triangelu zuzenen aldeekin bat zetozen hirukote balioak ezagutzen ziren, eta triangelu horiei buruzko problemak ebazteko erabiltzen ziren; oholtxo eta papiro batzuetan adierazten den moduan. Hala ere, ez du luzaroan iraun inolako dokumenturik hau teorikoki erlazionatzen duenik. K.a. XXVI. mendeko Kefrénen piramidea, egiptoar triangelu sakratuan oinarriturik eraiki zen lehen piramidea izan zen, 3-4-5 proportzioduna.

Frogapenak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pitagorasen teoremak, frogapen ezberdin ugari ditu, bakoitza bere metodoarekin. Erdi Aroan, “Magister matheoseos” gradua lortzeko teoremaren frogapen berri bat eskatzen zen.

Autore batzuk, mila ebazpen baino gehiago daudela proposatzen dute. Beste batzuk, ordea, E. S. Loomis matematikari estatubatuarrak adibidez, 1927. urtean, 367 froga ezberdin baino ez zituen batu The Pythogorean Proposition liburuan.

Liburu horretan, Loomisek ebazpenak lau multzo handitan banatu zituen: aljebraikoak, non triangeluaren aldeak eta segmentuak erlazionatzen diren; geometrikoak, non azaleren konparaketa egiten den; dinamikoak indarra eta masaren propietateen bidez; eta koaternioiak, bektoreen bidez.

Txina: Zhoubi Suanjing eta Jiuzhang Suanshu[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zhoubi Suanjing, K.a. 500-300 urteen artean idatzitako lan matematikoa dela onartzen da. Pitagorasek obra hau ezagutu ez zuenaren ustea dago. Jiuzhang Suanshu-ri dagokionez, badirudi geroagokoa dela eta K.a. 250. urte inguruan dago kokatuta.

Zhoubi-ak, (a+b) aldedun karratu bat eraikiz egiaztatzen du teorema. Karratu hori, a oinarri eta b altueradun lau triangelutan zatitzen da, bakoitzak c aldedun karratu bat duelarik.

Frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Demagun triangelu angeluzuzen bat dugula, a eta b kateto, eta c hipotenusaduna. C aldearen karratuak osatzen duen azalera, a eta b aldeen katarratuen azaleren batura bera dela frogatu nahi da.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Beheko irudian ikusten den bezala, c aldedun karratuaren barnean dagoen benetako triangeluari hiru triangelu gehitzen badizkiogu, karratu txikiago bat lortuko dugu. Lortzen den karratu erresultantea b – a aldeduna dela ikus daiteke. Gero, karratu txiki honen azalera hurrengo erara adierazi daiteke:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(b-a)^{2}=(a-b)^{2}$ delako.

Pitagorasen ustezko frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pitagorasen ustezko frogapena, triangeluen parekotasunaren bitartez frogatu zen, hau da, bere alde homologoak proportzionalak baitira.

C karratuaren barnean ABC triangelua daukagu. CH segmentua hipotenusarekiko altuera erlatiboa da; eta a’ eta b’ segmentuak determinatzen ditu.

ABC, AHC eta BHC triangelu angeluzuzenek oinarri bera dute: guztiek dute bi oinarri komun. Angelu zorrotzak berdinak dira komunak izateagatik eta baita bere aldeak perpendikularrak izateagatik ere. Ondorioz, esandako triangeluak antzekoak dira.

ABC eta AHC-ren arteko antzekotasuna:

Bi triangelu antzekoak dira, baldin eta bi angelu kongruente edo gehiago badaude.

${\frac {b}{b'}}={\frac {c}{b}}$

$b^{2}=b'c$

ABC eta BHCren arteko antzekotasuna:

${\frac {a}{a'}}={\frac {c}{b}}$

$a^{2}=a'c$

Lortutako emaitzei katetoen teorema deritze eta hauek batuz:

$a^{2}+b^{2}=a'c+b'c=c(a'+b')$

Baina $(a'+b')=c$ denez, azkenik, hurrengo emaitza lortzen da:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Bestalde, Pitagorasek, antzekoak diren bi irudiren azaleren arteko erlazioan oinarrituz ere froga zezakeen bere teorema.

PQR eta PST triangeluak, antzekoak dira. Horregatik, ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ .

r: triangeluen arteko antzekotasunaren arrazoia da.

Orain, azaleren arteko antzekotasuna bilatuz gero:

$A_{PQR}={\frac {1}{2}}(rs)$

$A_{PST}={\frac {1}{2}}(uv)$

Sinplifikatu ondoren hurrengo egoerara heltzen gara:

${\frac {A_{PQR}}{A_{PST}}}={\frac {rs}{uv}}={\frac {r}{u}}{\frac {s}{v}}$

Baina ${\frac {r}{u}}={\frac {s}{v}}=r$ antzekotasunaren arrazoia denez, hurrengo berdintzak lortzen dira:

${\frac {A_{PQR}}{A_{PST}}}=({\frac {r}{u}})^{2}=({\frac {s}{v}})^{2}$

Hau da, “antzekoak diren bi irudiren azaleren arteko erlazioa eta antzekotasunaren arrazoia karratura berberak dira”.

Printzipio hau, ACH eta BCH triangelu antzekoei aplikatuz gero:

${\frac {A_{ACH}}{A_{BCH}}}=({\frac {b}{a}})^{2}$

Proportzioen propietateak kontuan izanda:

${\frac {A_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {A_{BCH}}{a^{2}}}={\frac {{A_{ACH}}+{A_{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}(I)$

Eta ACH eta ABC triangeluen arteko antzekotasunaren ondorioz:

${\frac {A_{ACH}}{A_{ABC}}}=({\frac {b}{a}})^{2}$

${\frac {A_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {A_{ABC}}{c^{2}}}$

Baina (I) ekuazioaren arabera ${\frac {A_{ACH}}{b^{2}}}={\frac {{A_{ACH}}+{A_{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}$ da, hori dela eta:

${\frac {{A_{ACH}}+{A_{BCH}}}{b^{2}+a^{2}}}={\frac {A_{ABC}}{c^{2}}}$

Beraz,

$b^{2}+a^{2}=c^{2}$

Horrela, Pitagorasen teorema frogatzen da.

Halaber, Pitagorasek, teoremaren frogapen grafiko bat ere lor zezakeen.

Ezkerreko irudian ikusten den, a, b, c aldedun triangelu angeluzuzen eta katetoei eta hipotenusari dagokien karratuetatik abiatuz, bi karratu ezberdin eraikitzen dira:

Hauetako bat katetoen karratuez eta hasierako triangeluaren berdinak diren beste lau triangelu angeluzuzenez dago osaturik. (Erdiko irudia).

Beste karratua aurreko lau triangeluek eta hipotenusaren karratuak osatzen dute. (Eskuineko irudia).

Hauetako karratu bakoitzari triangeluak kentzen badizkiogu, nabarmena da azalera griseko karratua $(c^{2})$ , karratu urdin eta horiaren $(b^{2}+a^{2})$ baliokidea dela. Horrela, Pitagorasen teorema frogatzen da.

Erabilera adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eskailera baten neurria kalkulatzeko; eskuratu nahi den hormaren h altuera eta erpinetik (lurzoru-horma) eskaileraren oinera dagoen p distantziak ezagutzen dira.

$e^{2}=h^{2}+p^{2}$

$e={\sqrt {h^{2}+p^{2}}}$

Geometria analitiko lauan, $C(x_{1},y_{1})$ eta $D(x_{2},y_{2})$ puntuen artean distantzia aurkitzeko.

${CD}^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

Trigonometrian, sinu eta kosinuen arteko erlazioa frogatzeko.

$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

Geometrian, triangelu aldekide baten altuera aldearen menpe kalkulatzeko; ertza erabiliz tetraedro erregular baten altuera lortzeko. Zirkunskribatutako zirkunferentziaren erradioa ezagututa, inskribatutako triangelu aldekide eta hexagono erregular baten apotema aurkitzeko.
Aljebran, zenbaki oso gaussiar bat lehena den aztertzeko. Adibidez, $\alpha =1+4i$ , bere norma $N(\alpha )=1^{2}+4^{2}=17$ da.