MATRIZE NORMAK

Matrize norma bat, bektoreena bezala, $\lVert \cdot \rVert$ adierazten da eta hurrengo hiru propietateak betetzen ditu:

$\lVert A\rVert >0,\forall A\neq 0.$
$\lVert cA\rVert =\left\vert c\right\vert \cdot \lVert A\rVert ,\forall c\in {\displaystyle \mathbb {R} }.$
$\lVert A+B\rVert \leq \lVert A\rVert +\lVert B\rVert .$

A eta B $K^{m\times n}$ -erako matrizeak izanik.

Gainera, matrizea karratua den kasuetan; hau da, m=n hurrengo propietatea betetzen dela esan dezakegu:

$\lVert AB\rVert \leq \lVert A\rVert \cdot \lVert B\rVert .$

Definizioa

Izan bitez A matrize bat eta $\lVert \cdot \rVert$ bektore-norma bat. $\lVert A\rVert$ eragindako matrize norma honela definitzen da:

$\lVert A\rVert =\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\lVert Ax\rVert }{x}}$

Jarraian bektoreen bat-, bi- eta infinitu-normek eragindako matrize normak adieraziko ditugu:

$\lVert A\rVert _{1}=\max \limits _{j}\lVert A_{:,j}\rVert _{1}$ ( zutabe guztien bat-normetako maximoa)
$\lVert A\rVert _{2}=\sigma _{1}(A)$ ( balio singular handiena)
$\lVert A\rVert _{\infty }=\max \limits _{i}\lVert A_{i,:}\rVert _{1}$ ( lerro guztien bat-normetako maximoa)

A simetrikoa den kasuetan, $\lVert A\rVert _{2}=\max \limits _{1\leq i\leq n}\left\vert \lambda _{i}\right\vert$ ( $\lambda _{i},1\leq i\leq n$ , A- autobalioak izanik) betetzen da.

Frobeniusen norma

$\lVert \cdot \rVert _{b}$ bektore-norma bat eta $\lVert \cdot \rVert _{m}$ matrize-norma bat bateragarriak direla esaten da, A eta x guztietarako hurrengoa betzen bada:

$\lVert Ax\rVert _{b}\leq \lVert A\rVert _{m}\lVert x\rVert _{b}.$

Bektore-norma eta berak eragindako matrize-norma beti izango dira bateragarriak, baina ez eragindako matrize norma bat ere badago, Frobeniusen norma:

$\lVert A\rVert _{F}=(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}^{2})^{\frac {1}{2}}$ .

Norma hau bateragarria izanik bektore-norma euklidearrarekin:

$\lVert Ax\rVert _{2}\leq \lVert A\rVert _{F}\lVert x\rVert _{2}.$

Propietateak

Edozein $A\in {\displaystyle \mathbb {R} }^{m\times n}$ matrizetarako hurrengo 3 propietateak betetzen dira:

$\lVert A\rVert _{2}\leq \lVert A\rVert _{F}\leq {\sqrt {n}}\lVert A\rVert _{2}.$
${\frac {1}{\sqrt {n}}}\lVert A\rVert _{\infty }\leq \lVert A\rVert _{2}\leq {\sqrt {m}}\lVert A\rVert _{\infty }.$
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\lVert A\rVert _{1}\leq \lVert A\rVert _{2}\leq {\sqrt {n}}\lVert A\rVert _{1}.$

Propietate honen arabera, bektore edo matrize norma ezberdinek balio ezberdinak izan ditzaketen arren, baliokidetzat har daitezke, baten balio ezagutuz beste norma batena borna baitezakegu.