Lankide:Nikoroteta/Proba orria

Kalkulu diferentzialaren erabilera nagusiak

Funtzio baten zuzen ukitzailea puntu batean

$f(x)$ funtzio baten zuzen ukitzailea zuzen ebakitzailearen limitetzat hartzen da, zuzen ukitzailearen eta funtzioaren arteko ebaki puntu batek beste ebaki punturantz jotzen duenean. Puntu bateko zuzen ukitzailea lortzeko beste modu bat da funtzioaren puntu horretako hurbilketa lineal onena erabiltzea, hau da, funtzioa lokalki hobekien hurbiltzen duen lehen mailako funtzio polinomikoa litzateke zuzen ukitzailea.

$f(x)$ funtzioaren a puntuko $T_{x_{0}}(x)$ zuzen ukitzailearen ekuazioa ezaguna bada, adierazpen hau $f(x)$ funtzioaren nahiko hurbilketa ontzat har daiteke a puntuaren ingurune batean. Ondorioz, $x_{0}+h$ puntu bat hartuz gero, non h 0-tik gertu dagoen, orduan $f(x_{0}+h)-T_{x_{0}}(x_{0}+h)$ ren balioa baztergarria izango da h-ren balio absolutuarekin alderatuz. Beraz, x puntua geroz eta gertuago egon $x_{0}$ puntutik , $T_{x_{0}}(x)$ zuzena $f(x)$ funtzioaren geroz eta hurbilketa hobea izango da.

$f(x)$ funtzioa a puntuan deribagarria bada, orduan honela definitzen da a puntuko zuzen ukitzailea:

$T_{x_{0}}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

Deribatuaren erabilera funtzioak marrazteko

Deribatuak aldagai bakarreko funtzioen grafikoak marrazteko tresna erabilgarriak dira. Zehazki, funtzio bat mutur (maximo edo minimo) lokal batera eramaten duten puntuetan, funtzioaren lehen deribatuak zero balioa hartzen du. Hala ere, puntu kritiko guztiak ez dira muturrak; adibidez, $f(x)=x^{3}$ funtzioak puntu kritiko bat du $x=0$ puntuan, baina hau ez da maximo edo minimo bat, zeladura puntu bat baizik. Puntu hauen izaera definitzeko lehen deribatuaren irizpidea eta bigarren deribatuaren irizpidea erabiltzen dira.

Mutur lokalak aurkitutakoan, errazagoa da funtzioaren itxuraren ideia orokor bat egitea; izan ere, funtzioa monotonoki aldatuko da bi puntu kritikoen artean, hau da, berauek hartzen dituzten balioen arteko balioak izango dituzte tarteko puntu guztiek

Dimentsio bat baino gehiagoko domeinuetan, funtzioak zero balioa hartzen duen deribatu partzial bat izango du mutur lokal batean. Kasu honetan, puntu kritikoen izaera ezagutzeko, bigarren deribatuaren proba egin daiteke matrize hessiarraren balio propioak kontsideratuz. Balio propiio guztiak positiboak badira, puntu hau minimo lokala da; negatiboak badira, maximo lokala eta batzuk positiboak eta besteak negatiboak badira, orduan puntua zeladura puntua izango da. Hiru kasu hauetako bat betetzen ez bada, hau da, balio propioetako bat zero bada, orduan proba ez da erabakigarria izango.

Taylorren hurbilketak

Aurretik ikusi bezala, posible da funtzio baten hurbilketa bat egitea $a$ puntu baten inguruan, puntu horretan deribagarria bada. Bestalde, deribagarria izateaz gain ,$C^{n}$ klasekoa bada, orduan maila altuagoko polinomio baten bidez hurbil daiteke funtzioa. Hurbilketa honek Taylorren garapen izena jasotzen du, eta honela definitzen da:

$P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

non $P(x)$ ondokoa den: $f(x)$ funtzioa $x=a$ puntuan hobekien hurbiltzen duen n mailako polinomioa. Konturatu, $P(x)$ polinomioa $x=a$ puntuan ebaluatzen badugu, lehenengoa izan ezik, gainerako termino guztiak ezeztatzen direla; ondorioz $a$ puntuan $P(a)=f(a)$ da. Bestalde, aurretik ikusi dugun zuzen ukitzailea Taylorren garapenaren kasu partikular bat da: $n=1$, kasua hain zuzen ere.

$a=0$ puntua dugunean, garapen honek McLaurinen garapen izena hartzen du. Praktikan hau da gehien erabiltzen den kasua, eta hurrengo hauek dira McLaurinen garapenen zenbait adibide:

$\sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...$

$e^{x}\approx 1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...$

$ln(1+x)\approx x-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+...$

Kontuan izan aurreko adierazpenek $\approx$ ikurra dutela, hau da, hurbilketak dira; ez dira berdintza zehatzak. Hala ere, funtzioa infinitu aldiz jarraituki deribagarria bada($C^{\infty }$ klasekoa) eta infinitu termino gehitzen baditugu, orduan berdintza izango dugu eta Taylorren serie deituko diogu. Beraien Taylorren seriearen berdinak diren funtzioei funztio analitiko deitzen zaie.

Funtzio inplizituaren teorema

Funtzio inplizituaren teoremak aldagai anitzeko ekuazioak eta funztioak erlazionatzen ditu, ekuazioko aldagai bat gainerakoen funtzio gisa idatziz. Funtzio bat era inplizituan idatzita dagoela esango dugu $F(x,y)=0$ moduan idatzita baldin badago; eta mota honetako funtzioak dira, baldintza batzuen mendean, ekuazio batera alda daitezkeen funtzioak.

Hau erabilgarria da funtzio baten grafo gisa adierazi ezin diren forma geometrikoak marrazteko, adibidez, zirkunferentzia marrazteko. $R$ erradioko zirkunferentzia baten ekuazioa $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-R^{2}=0$ da, eta hemendik y x-ren mende idatz dezakegu $y(x)=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ funtzioak erabiliz. Aldaketa hau egiteko beharrezkoa da $F(x,y)$ funtzioa jarraituki deribagarria izatea, hau da, bere deribatuak $x$ eta $y$-rekiko jarraituak izatea.