Lankide:Theklan/Eskalatze (matematika)

Irudikapen matriziala

Eskalatze bat eskala-matrize batek adieraz dezake. Objektu bat v = (vx, vy, vz) bektore batetik eskalatzeko, p = (px, py, pz) puntu bakoitza eskalatze-matrize honekin biderkatu behar da:

$S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.$

Ondoren azaltzen den moduan, biderketak emaitza hau emango du:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.$

Eskalatze horrek aldatu egiten du objektu baten diametroa eskala-faktoreen artean dagoen proportzio batean; azalera, berriz, eskala-faktore txikienaren eta handienaren arteko biderkaduraren berdina den faktore baten bidez, eta bolumena, berriz, hiru faktoreen arteko biderketaren bidez.

Eskala uniformea da, soilik baldin eta eskala-faktoreak berdinak badira (v_x = v_y = v_z). Denak, eskala-faktoreetako bat izan ezik, 1 badira, norabide-eskalatze bat egiten da.

v_x = v_y = v_z = k denean, eskalak edozein gainazalen azalera handitzen du k² faktorearen bidez, eta edozein objektu solidoren bolumena, k³ faktorearen bidez.

Koordenatu homogeneoak erabiliz

Geometria proiektiboan, askotan konputazio grafikoan erabiltzen baita, puntuak koordenatu homogeneoak erabiliz irudikatzen dira. Objektu bat v = (v_x, v_y, v_z) bektore baten bidez eskalatzeko,p = (p_x, p_y, p_z, 1) koordenatu homogeneoen bektore bakoitza homografia-matrize honekin biderkatu behar da:

$S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Ondoren azaltzen den moduan, biderketak emaitza hau emango du:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.$

Koordenatu homogeneo baten azken osagaia beste hiru osagaien izendatzailea denez, eskala uniforme bat lor daiteke s faktore komun baten bidez (eskalatze uniformea), eskala-matrize hori erabiliz:

$S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.$

p = (p_x, p_y, p_z, 1) bektore bakoitzarentzat lortuko genuke:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}$

honen baliokidea dena:

${\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.$