Bayesen teorema

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Probabilitate teorian, Bayes-en teoremak gertakizun baten inguruan jasotako informazioaz baliatuz, gertakizun horren probabilitatea nola aldatu behar diren azaltzen duen teorema da. Adibidez, Bayes-en teorema pertsona bat gaixotasun batek jota izateko probabilitatea zehazteko erabil daiteke pertsona horri diagnostiko froga baten emaitza jakin ondoren. Bayes-en teoremari esker, estatistika adar oso bat garatu da: estatistika bayestarra. Thomas Bayes zientzia gizonak asmatu zuen XVIII. mendean.

Teorema[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bitez A,\ B bi gertakizun:

P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)}.

P(A) a priori edo aurretiko probabilitatea da.

P(A|B) a posteriori edo ondorengo probabilitatea da, B gertakizuna gauzatu dela jakinik. A posteriori probabilitateak a priori probabilitatea zehazten du, B gertakizunak ematen duen informazioari esker.

Probabilitate osoaren teoremari esker, Bayes-en teorema era honetan ere azal daiteke, \{A_i\},\ A_i izanik lagin espazioaren zatiketa bat eta bertako elementu bat, gertakizun bat alegia, hurrenez hurren:

P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i)\, P(A_i)}{\sum_j P(B|A_j)\,P(A_j)}  \!

Adibidea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Gaixotasun bat diagnostikatzeko froga bat erabiltzen da. Froga ez da perfektua ordea: orain arte jasotako datuen arabera, pertsona gaixo baten kasuan, frogak baiezkoa emateko probabilitatea 0.95 da. Pertsona gaixorik ez badago berriz, frogak ezezkoa emateko probabilitatea 0.90 da. Oro har, pertsonen %1 gaixorik dagoela uste da. Pertsona bati emandako frogak baiezkoa eman badu, nola aldatzen dira gaixorik eta ez gaixorik izateko probabilitateak?

Bayes-en teorema taula honen bitartez gara daiteke, "B: frogak baiezkoa eman du" dela jakinik:

A_i P(A_i) P(B|A_i) P(A_i)xP(B|A_i) P(A_i|B)
gaixo 0.01 0.95 0.0095 0.0095/0.1085=0.087
ez gaixo 0.99 0.10 0.099 0.099/0.1085=0.913
GUZTIZKO 1 0.1085 1

Teoremaren formula erabiliz:

P(gaixo|frogak\ baiezko) = \frac{0.01 \times 0.95}{0.01 \times 0.95+0.99 \times 0.10}=0.087  \!


P(ez\ gaixo|frogak\ baiezko) = \frac{0.99 \times 0.10}{0.01 \times 0.95+0.99 \times 0.10}=0.913  \!

Gaixo izateko %1eko a priori probabilitatea %8.7eko a posteriori probabilitatera aldatzen da, frogak baiezko eman duela jakin ondoren.

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Bayesen teorema