Butterworth iragazki

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Lehen ordenako behe-paseko Butterworth iragazki baten Boderen diagrama, tentsio-irabazia (goian) eta fasea (behan).

Butterworth iragazkia iragazki elektroniko aktibo mota bat da. Butterworthen polinomioetan oinarritzen da bere diseinua. Eredu matematikoaren hurbileko maiztasun-erantzuna izan dezan diseinatzen da.

Butterworth iragazkia Stephen Butterworth ingeniari britainiarrak teorizatu zuen "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer (Experimental Wireless and the Wireless Engineer bezala ere ezagutua), 7. liburukia, 1930, 536-541 orrialdeak.

Transferentzia-funtzioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Butterworth motako behe-paseko iragazkien transferentzia funtzioa, 1. ordenetik 5. ordenetakora. Funtzioaren malda 20·n dB/dekadakoa da, non n-k ordena adierazten duen.

Iragazkirik arruntena behe-pasekoa da, goi-paseko bihurtu daitekeena. Bi iragazki hauek konbinatuz banda kentzeko iragazkiak eta banda-paseko iragazkiak lor daitezke.

n ordenako iragazki baten tentsio-irabazia, transferentzia-funtzioan H(s) bezala adierazita dagoena ondorengo adierazpen matematikoa da:

G^2(\omega)=\left |H(j\omega)\right|^2 = \frac {G_0^2}{1+\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}}

non

  • n = iragazkiaren ordena
  • ωc = ebaki-frekuentzia (gutxi gorabehera -3dB dagoen maiztasuna)
  • G_0 korronte zuzeneko irabazia (zero maiztasuneko irabazia)

n infinitura hurbiltzen den heinean irabazia funtzio errektangular baten itxura hartzen du, eta ondorioz ωc baino txikiagoak diren maiztasunetarako irabaziak G_0 balio du. ωc baino handiagoak diren frekuentzietan, berriz, ez dago irabazirik. n txikiko balietarako, ebaki-maiztasuneko irabazia ez litzateke hain zorrotza izango.

H(s) transferentzia-funtzioa ezagutu nahi dugu, non s=\sigma+j\omega den. H(s)H(-s), s = jω domeinuan, |H(jω)|2 denez, orduan:

H(s)H(-s) = \frac {G_0^2}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n}

Adierazpen matematiko honen poloak ωc erradioko borobil batean azaltzen dira, simetrikoki.

-\frac{s_k^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}}
\qquad\mathrm{k = 1,2,3, \ldots, n}

eta horrenbestez,

s_k = \omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquad\mathrm{k = 1,2,3, \ldots, n}

Transferentzia-funtzioa:

H(s)=\frac{G_0}{\prod_{k=1}^n (s-s_k)/\omega_c}

Beraz, denominatzailea sren domeinuan dagoen Butterworthen polinomioa da.

Butterworthen polinomio normalizatuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Butterworthen polinomioa ωc = 1 eginez normalizatzen da.

B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right] n bakoitientzako
B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right] n bikoitientzako

Lau zenbaki hamartarrekin, Butterworthen adierazpenak honako hauek dira:

n Polinomioaren faktoreak B_n(s)
1 (s+1)
2 s^2+1.4142s+1
3 (s+1)(s^2+s+1)
4 (s^2+0.7654s+1)(s^2+1.8478s+1)
5 (s+1)(s^2+0.6180s+1)(s^2+1.6180s+1)
6 (s^2+0.5176s+1)(s^2+1.4142s+1)(s^2+1.9319s+1)
7 (s+1)(s^2+0.4450s+1)(s^2+1.2470s+1)(s^2+1.8019s+1)
8 (s^2+0.3902s+1)(s^2+1.1111s+1)(s^2+1.6629s+1)(s^2+1.9616s+1)

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]