Taylor serie

Matematikan, Taylor seriea funtzio baten seriezko honelako garapen bat da:

$f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n},$

$a=0\,$ balioetarako, garapenari Maclaurinen serie deritzo.

Taylorren seriea funtzio baten x puntuan hartzen duen balioa hurbiltzeko erabil daiteke, seriearen batugai zenbait bakarrik erabiltzen direnean. Era honetan, errore bat sortzen da, funtzioaren balioarekin bat datorren seriea ez baita modu osotuan garatzen:

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x),$

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x^*)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$, sortzen den errore edo hondarra izanik $a<x^*<x\,$ betetzen bada, Lagrangeren hondarra alegia.

Serie jakingarriak

Funtzio esponentzialaren seriea

$e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots= \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}.$