Proportzio baterako konfiantza-tarte

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Inferentzia estatistikoan, proportzio baterako konfiantza-tarteak populazio bateko proportzioaren zenbatespena egiten du konfiantza-tarte baten bitartez eta lagin batetik jasotako datuetan oinarrituz eta konfiantza maila jakin baterako. Adibidez, proportzio baterako konfiantza-tarte batek makina batek ekoizten dituen osagaietan dauden akastunen proportzioa %99ko konfiantzaz %8-%12 tartean dagoela ezar dezake. Proportzio baterako konfiantza tarteak aplikazio zabalak ditu praktikan: industrian, piezen kalitatea kuantifikatzeko erabil daiteke, pieza akastunak edo akasgabeak bereiziz; medikuntzan, gaixotasun batek erasaten dune populazioaren proportzioa zenbatesteko eta soziologian, hauteskundeen aurretik botu jakin bat eman behar dutenen pertsonen portzentaia estimatzeko. Ohikoa da konfiantza tartea eratu aurretik, konfiantza eta tarte-zabalera jakin baterako beharrezko lagin tamainua kalkulatzea. Lagin hori jaso eta bertako proportzioa kalkulatu eta gero, tartea zehaztuko da.

Proportzioaren tarte-zenbatespena banaketa binomialean oinarritzen da, laginean suertatzen diren baiezko edo ezezko kopurua banaketa binomialari jarraiki banatzen baita, non elementu bakoitzak aurkako bi ezaugarri izango dituen: bai edo ez, arrakasta edo porrot, akastun edo akasgabe. Gehienetan, lagin-tamaina handia izaten denez, banaketa binomialaren ordez, banaketa normala erabiltzen da hurbilketa moduan.

Proportzio baterako konfiantza-tartearen eraketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lagin-proportzioa honela banatzen da, n lagin-tamaina handietarako: \hat{p} \sim N(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}).

Estandartuz: z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}} \sim N(0,1).


Aurrez erabakitako 1-\alpha\, konfiantza-maila baterako:


P\Bigg[-z_{\frac{\alpha}{2}}<\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}}<z_{\frac{\alpha}{2}}\Bigg];


eta p\, bakanduz:


P\Bigg[\hat{p}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{pq}{n}}<p<\hat{p}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{pq}{n}}\Bigg].


Tartea osatzean p\, eta q\, ezagunak ez direnez, \hat{p}\, eta \hat{q}\, zenbatesleak erabiltzen dira. Beraz, tartea honela geratzen da:


\hat{p}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}<p<\hat{p}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\ : \ \hat{p} \pm z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}};


non z_{\frac{\alpha}{2}} bere gainetik Z\, normal estandarrean \frac{\alpha}{2} probabilitatea uzten duen balioa den.

Adibidez, makina batek ekoizten dituen osagaia akastunen proportzioa zenbatesteko 200 osagai independenteko lagin bat aukeratu eta 30 akastunak direla hauteman da. Makinako akastun-proportzioari buruzko %90eko konfiantza-tartea eratu behar da:


1-\alpha=0.9\,
z_{0.05}=1.64\,
\hat{p}=\frac{30}{200}=0.15\,
\hat{q}=1-0.15=0.85\,


Tartea honela geratzen da, beraz:


p \in 0.15 \pm 1.64\sqrt{\frac{0.15 \times 0.85}{200}}: 0.15 \pm 0.0414 : (0.1086,0.1914).


Beraz, makinak ekoizten dituen osagai guztien populazioan akastun kopurua %15±%4.14 edo %10.86-%19.14 tartean kokatzen da %90eko konfiantzaz.

Lagin-tamainuaren finkapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ohikoa da lagina jaso aurretik konfiantza-maila eta \epsilon\, errore jakin baterako beharreko lagin-tamaina ezartzea. Konfiantza-tartearen adierazpen orokorretik abiatuz:

z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{pq}{n}}=\epsilon\

Horrela, errorea aldez aurretik kontrolatuta, jaso beharreko lagin-tamainurako formula hau eratortzen da:

n=\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^2\cdot pq}{\epsilon^2}

Ezezagunak diren p\, eta q\, zehazteko bi irtenbide hauek proposatzen dira:

1 lagin tamainu handiena dakarten p\, eta q\, parametroak ematea, badaezpada behar baino lagin-tamaina txikiagoa jaso ez dadin. Lagin tamainu handiena p=q=0.5\, balioetarako gertatzen da eta orduan honela geratzen da lagin-tamainurako formula:
n=\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^2\cdot0,5 \cdot 0.5}{\epsilon^2}=\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^2}{4\epsilon^2},
2 elementu bakan batzurekin osaturiko lagin pilotu batetik p\, eta q\, parametroen zenbatespena egin, p_0\, eta q_0\, lagin pilotuaren lagin-proportzioak erabiliz:
n=\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^2\cdot p_0q_0}{\epsilon^2}

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Wikiliburuetan liburu bat dago honi buruz:
Proportzio baterako konfiantza-tarteak