Banachen pospolo kaxaren ebazkizuna

Probabilitate teorian, Banachen pospolo kaxaren ebazkizuna ebazkizun klasiko bat da. Matematikari batek pospolo kaxa bana darama ezker eta eskuineko patriketan. Pospolo bat behar duen bakoitzean, edozein kaxa aukeratzen du probabilitate berdinez. Halako batean, edozein patrikatako kaxa hartu eta hutsik dagoela konturatzen da. Kaxa bakoitzak hasieran N pospolo zituelarik, zenbatekoa da beste kaxan k pospolo geratzeko probabilitatea?

Ebazpena

Bedi E: matematikariak ezkerreko patrikako kaxa aukeratu eta hutsik dagoela ikusita, eskuineko patrikako kaxan k pospolo geratzea. E gertatzeko, matematikariak N+1 aldiz hartu du kaxa ezkerreko patrikatik (hutsik geratu arte N aldiz gehi hutsik aurkitu duen aldi bakar batez, alegia). Eskuineko patrikatik, berriz, N-k aldiz hartu du kaxa, k pospolo geratzen badira. Beraz, guztira N+1-N-k=2N-k+1 aldiz atera du kaxa bat, eta horietatik N+1 alditan ezkerrekoa eta N-k alditan eskuinekoa aukeratu du, edozein ordenetan ezkerreko eta eskuineko aldi guztiak (azken hau kontuan hartzeko permutazioak erabili beharko dira, beraz), ezkerreko patrikatik kaxa hartu den azkeneko aldia ezik. Ezkerreko edo eskuineko kaxa aukeratzeko probabilitatea 1/2 denez:

${\begin{aligned}P(E)&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{N}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{N-k}\times {\frac {(2N-k)!}{N!(N-k)!}}\times {\frac {1}{2}}\\&=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k+1}\times {\frac {(2N-k)!}{N!(N-k)!}}.\end{aligned}}$

Aipatu behar da eskuineko patrikan k pospolo geratzea (eta ezkerrekoan bat ere ez, azkenekoz ezkerrekoa aukeratzen dela), ezartzen duen zorizko aldagaiak BN(r=N+1, p=1/2) banaketa binomial negatibo bati jarraitzen diola.

Pospolo kaxa ezkerreko zein eskuineko patrikan aurki daitekeenez hutsik probabilitate berdinez, bilatzen den probabilitatea hau da:

$p=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k+1}\times {\frac {(2N-k)!}{N!(N-k)!}}\times 2=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}\times {\frac {(2N-k)!}{N!(N-k)!}}.$

Historia

Ebazkizuna erretzaile porrokatua zen Stefan Banach matematikariaren oroimenez egindako hitzaldi batean asmatu zuen Hugo Steinhaus matematikariak (1887-1972).

Erabilera

Banachen pospolo kaxaren ebazkizunaren aplikazioak asmatu dira informatika arloan, datuak zenbait memoriatan gordetzeko ebazkizunetan .

Kanpo estekak

• Applet bat, ebazkizuna irudiz azaldu eta N pospolo ezberdinetarako probabilitateak ematen dituena.

• Datuak: Q4352773

Bibliografia

• MAHMOUD, Hosam M., Polya Urn Models, Chapman & Hall/CRC, 2008. 41 orr. ISBN 978-1-4200-5983-0.