Batezbesteko aritmetiko sinple

Batez besteko aritmetiko sinplea datuen grabitate-zentroa da: datu guztiak balantza batean jarrita, oreka batez besteko aritmetikoari dagokion puntuan kokatzen da.

Batez besteko aritmetiko sinplea estatistikan maiz erabiltzen den batez besteko eta zentro neurri bat da. Batez besteko gisa, datu-multzo baten batez besteko aritmetiko sinplearen inguruan biltzen dira datu guztiak, datuen gutxi gorabeherako zentro-joera bat emanez. Beraz, bere helburua, datu guztiak balio bakar batez adierazi edo ordeztea da .

Adibidez, ikasle batek bi azterketetan lortutako kalifikazioak 6 eta 8 izan badira, kalifikazioen batez besteko aritmetiko sinplea 7 da (kalifikazioak batuz eta kalifikazio kopuruaz zatituz: (6+8)/2=7) eta, beraz, kalifikazio orokorra 7 dela esan daiteke.

Zentro-joerarako neurri eta batez besteko guztietan gehien erabiltzen den neurria da, bere kalkuluaren erraztasunagatik eta esanahiaren argitasunagatik. Horregatik, batez besteko aritmetiko sinplea esan ordez, besterik gabe batez besteko esan ohi da bera aipatzean. Egunerokoan, aplikazio zabalak dituen neurria da: ikasle batek azterketa ezberdinetan lorturiko batez besteko kalifikazioa lortzeko, azterketa batean ikasle zenbaitek lorturiko kalifikazioen batez bestekoa kalkulatzeko, hil ezberdinetan zehar hileko kontsumitu den batez besteko argindar-kopurua emateko, denda batean egunero batez bestez zenbat saltzen den zenbatesteko, futbol jokalari batek partidu bakoitzean zenbat gol egiten dituen jakiteko, ... Datuetarako kalkulatzeaz gainera, probabilitate-banakuntza eta bestelako objektu matematikoetarako ere erabil daitekeen neurria da, baina kasu hauetan kalkulurako erabili behar den prozedura ezberdina dela kontuan hartu behar da.

Kalkulua lagin baterako

Lagin bateko datuak $x_{1},\ x_{2},\ldots ,\ x_{n}$ izanik, honela izendatu eta kalkulatzen da batez besteko aritmetiko sinplea:

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

Hau da, batez besteko aritmetiko sinplea kalkulatzeko, eskuartean dauden datuak batu eta datu kopuruaz zatitu behar da. Batura egin ahal izateko, datuak fenomeno berari buruzkoak izan behar dira (adibidez ikasleen kalifikazioak, jokalari batek partidu ezberdinetan sartu dituen gol-kopuruak, denda bateko salmentak egunez egun).

Datu bakoitza zenbait aldiz errepikatu eta maiztasun taula batean bilduta agertzen direnean, formula honi jarraiki kalkulatzen da:

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}n_{i}x_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}$

Datuak tartean bilduta agertzen direnean, tarte bakoitzeko erdiko puntua hartu eta arestiko formula erabiltzen da. Kasu honetan, ordea, errore bat sortzen da tarteko datu guztiak tarteko erdiko puntuaz ordeztean, baina datuak tartean uniformeki banatzen badira, erroreak konpentsatu eta hurbilketa jatorriko datuen batez besteko aritmetikoaren oso gertu izango dela ziurta daiteke.

Egoera batzuetan, azkenik, datuen batura edo guztirakoa ematen da zuzenean, elementu kopuruarekin batera. Batez besteko aritmetiko sinplea kalkulatzeko guztirakoa zati elementu kopurua egiten da. Adibidez, 10 denda dituen enpresa bateko salmentak 200.000 eurokoak izan badira, dendako batez besteko salmenta 200.000/10=20.000 eurokoa izango da. 100 egunetan 20000 euroko salmentak izan badira, eguneko batez besteko salmenta 20000/100= 200 eurokoa izan da.

Adibideak

Datu isolatuak

Adibidez, 5 ikasleren kalifikazioak 4-5-3-7-6 badira (puntutan), hau izango batezbesteko aritmetiko bakuna:

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}={\frac {4+5+3+7+6}{5}}=5$

Beraz, ikasleek oro har eta batez beste 5 puntu izan dutela adierazi behar da.

Pausoz pauso eginez:

Ikasle   Kalifikazioa
 1           4              ·Lehendabizi, kalifikazioak batu:
 2           5                    4+5+3+7+6=25
 3           3              ·Ondoren, datuen batura ikasle kopuruaz zatitzen da:
 4           7                    25/5=5
 5           6              ·Batez besteko kalifikazioa 5 puntu da.

Datuak maiztasun-tauletan

Datuak errepikatzen direnean ere, datu guzti guztiak batu behar dira. Hau da, datuak dira batu beharrekoak eta ez aldagaiak hartzen dituen balio ezberdinak. Adibidez, 2 ikaslek 5, 3 ikaslek 6 eta ikasle batek 8 lortu badute, ikasleen batez besteko kalifikazioa hau da:

${\overline {x}}={\frac {5+5+6+6+6+8}{6}}={\frac {2\times 5+3\times 6+1\times 8}{6}}=6$

Zuzenean maiztasun-taula hartzen bada, lehenengo bi zutabeetan, honela egin daitezke kalkuluak modu ordenatuagoan hirugarren zutabe bat osatuz:

xi(balioak)	ni(maiztasunak)	nixi
5	2	10
6	3	18
8	1	8
baturak	6	36

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}n_{i}x_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}={\frac {36}{6}}=6$

Datuak tartetan

Datuak tartetan agertzen direnean, lehenengo bi zutabeetan bezala, non lan bat egiteko pertsona ezberdinek behar izan dituzten denborak agertzen diren minututan (40 minutura arte), tarteko erdiko puntua hartu eta maiztasun-taula bat balitz bezala jokatzen da, baina emaitza jatorriko datuen batez bestekoaren hurbilketa izango da:

tartea	ni(maiztasunak)	xi(balioak)	nixi
0-10	2	5	10
10-20	3	15	45
20-30	4	25	100
30-40	1	35	35
baturak	10		190

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i}n_{i}x_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}={\frac {190}{10}}=19$

Lana egiteko pertsona batek behar duen batez besteko denbora 19 minutu da.

Ezaugarriak

Bere abantailen artean, kalkuluaren erraztasuna eta esanahi argia aipatu behar dira. Bere adierazpen matematikoaren sinpletasunak gainera garapen matematiko sakonagoa ahalbideratzen du. Bere kalkuluan datu guztiak haztapen edo pisu kontuan hartzen ditu, datu guztiei garrantzi berdina emanez. Hau, ordea, eragozpen bat izan daiteke egoera batzuetan, adibidez ondasun ezberdinen prezio-igoera batez bestekoa kalkulatzean, prezio batzuen igoera, dagozkien produktua gehiago kontsumitzean, garrantzi handiagokoa izan baitaiteke. Datuei pisu ezberdina eman behar zaienean, batez besteko aritmetiko haztatua erabili behar da, batez besteko aritmetiko sinplearen ordez.

Eragozpen nagusi moduan, muturreko datuekiko jasankorra ez dela aipatu behar da, muturreko datuek batezbesteko aritmetiko sinplearen emaitzan eragin handia dutela alegia. Adibidez, datuak 2-2-2-2-22 izanik, batezbesteko aritmetiko sinplearen balioa 6 da eta argi dago 6 balioa ez dela datu multzo osoaren adierazgarri: arrazoia 22 datua da, oso handia denez, batez besteko aritmetiko sinplea gorantz baitarama.

Batez besteko aritmetiko sinplea zenbatesle gisa

Populazio baterako, batez besteko aritmetiko sinplea balio ezezagun interesgarria izaten da, populazio osoa balio bakar batean laburbiltzen duen balioa baita. Kasu honetan, batez besteko aritmetiko sinplea parametroa dela esaten da. Populazio bateko batez besteko aritmetiko sinplea zenbatesteko, lagin bat aukeratu eta lagin-datuen batez besteko aritmetiko sinplea erabil daiteke. Bereizi behar dira, beraz, populazio bateko batez besteko aritmetiko sinplea (itxaropen matematiko izenez ere ezagutzen dena), μ (mu) hizki grekoaz, adierazi ohi dena, eta lagin-datuen batez besteko aritmetiko sinplea, ${\overline {x}}$ ohiko ikurraz adierazten dena: ${\overline {x}}$ lagin-batez bestekoa μ populazio-batez bestekoa zenbatesteko erabiltzen da edota ${\overline {x}}$ zenbatesle gisa erabiltzen dela esaten da. Zenbatespenaren fidagarritasuna edo lagin-batez bestekoaren kalkuluan jaso beharreko datu-kopuruaren zehaztapena inferentzia izeneko arlo estatistikoari dagokio.

Populazioaren batez bestekoaren zenbatesle gisa, batez besteko aritmetiko sinplea zenbatesle alboragabea da populazio batez bestekoari buruz:

$E[{\overline {x}}]=\mu$

Bere bariantza hau da, n lagin tamaina eta $\sigma ^{2}$ populazio-bariantza izanik:

$\sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

Hau da, zenbat eta datu gehiago jaso, batez besteko aritmetikoaren balioak orduan eta gutxiago aldatu dira populazio-batez bestekoaren inguruan, balio fidagarriagoak emanez.

Konfiantza-tarteak

Populazio-batez bestekoari buruzko konfiantza-tartea honela osatzen da batez besteko aritmetiko sinplean oinarriturik, populazio normaletarako eta $\sigma$ populazioaren desbideratze estandarra ezezaguna denean:

${\overline {x}}-t_{n-1,{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\hat {s}}{n}}<\mu <{\overline {x}}+t_{n-1,{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\hat {s}}{n}}$

Lagin-tamaina handia denean (n>30), Studenten t banakuntzaren ordez banakuntza normala erabil daiteke:

${\overline {x}}-z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{n}}<\mu <{\overline {x}}+z_{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\hat {s}}{n}}$

Bi kasuetan ezezaguna den populazioaren desbideratzea ${\hat {s}}$ quasi-bariantzaren bitartez zenbatesten da.

Bestelako populazioetarako batez besteko aritmetiko sinpleak banakuntza konplexuagoa erakusten du eta konfiantza-tarteen eraketa oso zaila da, baina lagin tamaina handia denean, 30 baino handiagoa gutxi gorabehera, azken formulari jarraiki egin daiteke, limitearen teorema zentralari esker.

Ikus, gainera

• Batez bestekoen arteko erlazioa
• Batez besteko pitagoratar