Itxaropen matematiko

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Bi dado botata suertatzen diren puntuen baturaren probabilitate banaketa: hurrengo jokaldietan denetariko emaitzak izan badaitezke ere (2,2,8,10), epe luzera batez beste itxaron daitekeen emaitza 7 da; 7 da, beraz, itxaropen matematikoa.

Itxaropen matematikoa, esperantza matematikoa edo itxarondako balioa zorizko aldagai baten batezbesteko balioa da, dagozkion probabilitateen arabera kalkulaturik. Intuitiboki, zorizko saiakuntza behin eta berriz errepikatuz epe luzera suertatuko litzatekeen emaitzen batez besteko balioa da, epe luzera itxaron edo espero daitekeen batez besteko emaitza alegia.

Estatistikan maiz erabiltzen den kontzeptua da: probabilitate-banaketa bateko ezaugarri jakingarrienetako bat da, parametro ezezagun gisa hartzen dena eta datuetan baliokide duen batezbesteko aritmetiko sinplearen bitartez zenbatesten dena. Matematikan, neurri-teoriatik formulazio matematiko zorrotza du eta, aldi berean, maiz erabiltzen da problema aplikatuetan, hala nola ekonomia arloko erabakien azterketan. Zorizko jokoetan ere maiz kalkulatzen da, jokalari batek jokaldi bateko batezbesteko emaitza jakiteko. Erabaki eta jokoen eremu horietako paradoxa zenbaitetan ere agertzen da, hala nola San Petersburgo paradoxan eta Allaisen paradoxan. Halaber, baliteke mutur luzeak dituzten probabilitate banakuntzetan ez existitzea.

Kalkulua probabilitate banaketa diskretu baterako[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bedi \Omega zorizko aldagaiak hartzen dituen balio ezberdin guztien multzoa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:


\mu=E[X]=\sum_{\Omega}xp(x)

Adibidea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi dado bota eta puntuen baturaren itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da. arestiko formulan adierazten den bezala x (puntuazioak) eta p(x) (probabilitateak) hurrenik hurren bidertuz eta emaitzak batuz:

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 batura
p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1
xp(x) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36 252/36=7

Ondorioz, bi dado botata, puntuazioen itxaropen matematikoa 7 da.

Kalkulua probabilitate banaketa jarraitu baterako[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Irudiko dentsitate-funtzioan probabilitate gehiena 0tik gertuko balioetan biltzen da eta gutxiena 3tik gertu. Beraz, itxaropen matematikoa gertuago dago 0tik 3tik baino: E[X]=1.

Bitez \Omega zorizko aldagaiak hartzen duen balioen tartea eta f(x) probabilitate banaketa definitzen duen trinkotasun-funtzioa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da, dentsitate-funtziotik abiatuta:


\mu=E[X]=\int_{\Omega}xf(x)dx

Adibidea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Likido batean litroko dagoen substantzia-kopurua (mg) probabilitate-banaketa honen araberakoa da (ikus alboko irudia):

f(x)=\frac23-\frac29x\ ; \ \ 0<x<3

Honela kalkulatzen da itxaropena:

\mu=E[X]=\int_0^3x\Big(\frac{2}{3}-\frac{2}{9}x\Big)dx=1

Itxaropen matematikoaren propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aldagai aldaketa lineala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

X zorizko aldagaia izanik, Y=aX+b aldagai aldaketa lineala egiten bada:

E[Y]=aE[X]+b


Zorizko aldagaien batura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

X1, X2, ...,Xn zorizko aldagaiak izanik, horien baturaren itxaropena horien itxaropenen batura da:

E[X_1+X_2+\ldots+X_n]=E[X_1]+E[X_2]+\ldots+E[X_n]

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Wikiliburuetan liburu bat dago honi buruz:
Itxaropen matematikoa