Modus tollendo tollens: berrikuspenen arteko aldeak

← Aurreko ezberdintasuna Hurrengo ezberdintasuna →

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia

Lerroan

21:09, 5 abendua 2016ko berrikusketa

Modus tollendo tollens (latinez: "ukatuz ukatzen duen modua";^[1] modus tollens,^[2]^[3]^[4]^[5] atzekariaren ukapenaren legea edo kontrajartze-legea izenez ere ezaguna)^[6] baliozko argudio-forma eta inferentzia-erregela da logika proposizionalean. Adierazpen bat baliozkoa bada, bere kontrajartzea ere badela dioen egia orokorraren aplikazioa da. Modus tollendo tollens erregelaren historiak antzinaroraino egiten du atzera.^[7] Modus tollendo tollens erregela esplizituki azaltzen lehenak estoikoak izan ziren.^[8]

Modus tollendo tollens inferentzia-erregelak ezartzen du lehen baieztapen batek bigarren bat inplikatzen badu, eta bigarrena ez bada egiazkoa, lehenak ezin duela egiazkoa izan inferitu daitekeela. Hau da, $P$ -k $Q$ inplikatzen badu, eta $Q$ ez bada egiazkoa, orduan $P$ ere ez da egiazkoa.

Hori era formalean honela adieraz daiteke:

{\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}

non $P\to Q$ -k esan nahi duen “P-k inplikatzen du Q” eta $\neg Q$ -k esan nahi duen “ez da Q-ren kasua” (edo, laburrago, “ez Q”). Orduan, bai “ $P\to Q$ ” eta bai “ $\neg Q$ ” frogapen batean lerro gisa agertzen badira, “ $\neg P$ ” era baliozkoan jar dezakegu ondorengo lerro batean.

Hona hemen modus tollendo tollens-en adibide bat:

Euririk ari badu, antzokiaren barruan itxarongo dizut.

Ez naiz antzokiaren barruan itxaroten ari.

Beraz, ez du euririk ari.

Notazio formala

Modus tollendo tollens-en erregela hainbat eratara idatz daiteke.

Modus tollendo tollens notazioan

P\to Q,\neg Q\vdash \neg P

$\vdash$ sinbolo metalogikoa da eta $\neg P$ , $P\to Q$ -en eta $\neg Q$ -en ondorio sintaktikoa da sistema logiko batean.

Modus tollendo tollens tautologia egia-funtzionalen baieztapentzat

Notazio honi logika proposizionalaren teorema ere deitzen dio eta honela idazten da:

((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P

non $P$ eta $Q$ sistema formalen batean adierazitako proposamenak dira.

Modus tollendo tollens suposizioak sartuz

Honela idazten da:

{\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}

.

Erregela honek ez duenez suposizio multzoa aldatzen, ez da behar beharrezkoa.

Idazte konplexuagoak

Askotan, berridazketa konplexuagoak daude barruan modus tollendo dutenak, adibidez, multzo-teorian.

P\subseteq Q

x\notin Q

\therefore x\notin P

("P, Qren azpimultzoa da. x ez dago Qn, beraz x ez dago Pn)

Baita lehen ordenako predikatu-logikan ere.

\forall x:~P(x)\to Q(x)

\exists x:~\neg Q(x)

\therefore \exists x:~\neg P(x)

("x guztietarako, x P baldin bada, orduan x Q da. Badago x bat ez dena Q, beraz, baita ere dago x bat ez dena P")

Zentzu zehatzean ez du tratatzen tollendo modus-en eskaritik. Baina Modus tollendo tollens erabiliz desbideratu ahal izango dira neurri gehigarri batzuk erabilita.

Azalpena

Argudioak bi premisa ditu. Lehen premisa baldintzazkoa edo “baldin-orduan” motako adierazpena da. Adibidez, baldin P orduan Q. Bigarren premisa da ez dela Q-ren kasua (“ez Q”). Bi premisa horietatik abiatuta logikoki ondorioztatu daiteke ez dela P-ren kasua (“ez P”).

Adibidez:

P1: Atari-txakurrak sarkin bat antzematen badu, atari-txakurrak zaunka egiten du.

P2: Atari-txakurrak ez zuen zaunka egin.

O: Beraz, atari-txakurrak ez zuen sarkinik antzeman.

Premisak egiazkoak direla suposatuta (txakurrak sarkin bat antzematen badu zaunka egiten du, eta ez du zaunka egin), ondorioztatzen da ez dela sarkinik antzeman. Baliozko argumentua da, ez baita posible ondorioa faltsua izatea premisak egiazkoak badira. (Baliteke txakurrak antzeman ez duen sarkin bat egon izana, baina horrek ez du argumentua baliogabetzen; lehen premisa “txakurrak sarkin bat antzematen badu” da). Gertaera garrantzitsua txakurrak sarkina antzematen duen ala ez da, ez existitzen den ala ez.

Beste adibide bat:

P1: Ni aizkoraren hiltzailea banaiz, orduan aizkora bat erabil dezaket.

P2: Ezin dut aizkora bat erabili.

O: Beraz, ni ez naiz aizkoraren hiltzailea.

Modus ponens-ekiko erlazioa

Modus tollendo tollens-en edozein erabilpen bihur dezakegu modus ponens eta inplikazio materiala den premisaren transposizioaren erabilpen. Adibidez:

Baldin P, orduan Q(premisa - inplikazio materiala)

Baldin ez Q, orduan ez P (deribatua transposizioaren bitartez)

Ez Q. (premisa) Beraz, ez P (deribatua modus ponens-en bidez)

Era berean, modus ponens-en erabilera bakoitza bihurtu daiteke modus tollendo tollens-en eta transposizioen erabileran.

Egia-taula bidezko justifikazioa

Modus tollendo tollens-aren baliozkotasuna argi froga daiteke egia-taula baten bidez.

p	q	p → q
E	E	E
E	F	F
F	E	E
F	F	E

Modus tollendo tollens kasuetan premisa gisa onartzen ditugu p → q egiazkoa dela eta q faltsua dela. Taulako lerro bakarrak (laugarrenak) betetzen ditu egiazko bi baldintza horiek. Lerro horretan, p faltsua da. Beraz, p → q egiazkoa den eta q faltsua den kasu guztietan, p-k ere faltsua izan behar du.

Frogapen formala

Silogismo disjuntibo bidez


Urratsa	Proposizioa	Deribatua
1	$P\rightarrow Q$	Premisa
2	$\neg Q$	Premisa
3	$\neg P\lor Q$	Inplikazio materiala (1)
4	$\neg P$	Silogismo disjuntiboa (2,3)

reductio ad absurdum bidez


Urratsa	Proposizioa	Deribatua
1	$P\rightarrow Q$	Premisa
2	$\neg Q$	Premisa
3	$P$	Onarpena
4	$Q$	Modus ponens (1,3)
5	$Q\land \neg Q$	Konbinazio konjuntiboa (2,4)
6	$\neg P$	Reductio ad absurdum (3,5)

Erreferentziak

↑ Stone, Jon R. 1996. Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language. Londres: Routledge. 60. or.
↑ Ipar Carolinako Unibertsitatea, Filosofia Saila, Logika Glosarioa.
↑ Copi eta Cohen
↑ Hurley
↑ Moore eta Parker
↑ Sanford, David Hawley. 2003. If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning. Londres: Routledge. 39. or. "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies."
↑ Susanne Bobzien (2002). "The Development of Modus Ponens in Antiquity", Phronesis 47.
↑ "Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ancient Logic: The Stoics"

[1] Stone, Jon R. 1996. Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language. Londres: Routledge. 60. or.

[2] Ipar Carolinako Unibertsitatea, Filosofia Saila, Logika Glosarioa.

[3] Copi eta Cohen

[4] Hurley

[5] Moore eta Parker

[6] Sanford, David Hawley. 2003. If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning. Londres: Routledge. 39. or. "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies."

[7] Susanne Bobzien (2002). "The Development of Modus Ponens in Antiquity", Phronesis 47.

[8] "Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ancient Logic: The Stoics"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ 1. lerroa: / 1. lerroa: @@
 {{lanean}}
-'''''Modus tollendo tollens''''' ([[Latin|latinez]]: "ukatuz ukatzen duen modua";<ref>Stone, Jon R. 1996. ''Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language''. Londres: Routledge. 60. or.</ref> '''''modus tollens,'''''<ref>Ipar Carolinako Unibertsitatea, Filosofia Saila, [http://web.archive.org/web/http://www.philosophy.uncc.edu/mleldrid/Logic/logiglos.html#modustollens Logika Glosarioa].</ref><ref>Copi eta Cohen</ref><ref>Hurley</ref><ref>Moore eta Parker</ref> '''atzekariaren ukapenaren legea '''edo '''kontrajartze-legea''' izenez ere ezaguna)<ref>Sanford, David Hawley. 2003. ''If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning''. Londres: Routledge. 39. or. "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies."</ref> baliozko argudio-forma eta inferentzia-erregela da [[Logika proposizional|logika proposizionalean]]. Adierazpen bat baliozkoa bada, bere kontrajartzea ere badela dioen egia orokorraren aplikazioa da. ''Modus tollendo tollens'' erregelaren historiak antzinaroraino egiten du atzera.<ref>Susanne Bobzien (2002). "The Development of Modus Ponens in Antiquity", ''Phronesis'' 47.</ref> Modus tollendo tollens erregela esplizituki azaltzen lehenak estoikoak izan ziren.<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/logic-ancient/#Sto "Stanford Encyclopedia of Philosophy: ''Ancient Logic: The Stoics''"]</ref>
+'''''Modus tollendo tollens''''' ([[Latin|latinez]]: "ukatuz ukatzen duen modua";<ref>Stone, Jon R. 1996. ''Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language''. Londres: Routledge. 60. or.</ref> '''''modus tollens,'''''<ref>Ipar Carolinako Unibertsitatea, Filosofia Saila, [http://web.archive.org/web/http://www.philosophy.uncc.edu/mleldrid/Logic/logiglos.html#modustollens Logika Glosarioa].</ref><ref>Copi eta Cohen</ref><ref>Hurley</ref><ref>Moore eta Parker</ref> '''atzekariaren ukapenaren legea '''edo '''kontrajartze-legea''' izenez ere ezaguna)<ref>Sanford, David Hawley. 2003. ''If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning''. Londres: Routledge. 39. or. "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies."</ref> [[Baliozkotasun (logika)|baliozko]] argudio-forma eta inferentzia-erregela da [[Logika proposizional|logika proposizionalean]]. Adierazpen bat baliozkoa bada, bere kontrajartzea ere badela dioen egia orokorraren aplikazioa da. ''Modus tollendo tollens'' erregelaren historiak antzinaroraino egiten du atzera.<ref>Susanne Bobzien (2002). "The Development of Modus Ponens in Antiquity", ''Phronesis'' 47.</ref> Modus tollendo tollens erregela esplizituki azaltzen lehenak [[Estoizismo|estoikoak]] izan ziren.<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/logic-ancient/#Sto "Stanford Encyclopedia of Philosophy: ''Ancient Logic: The Stoics''"]</ref>
-''Modus tollendo tollens'' inferentzia-erregelak ezartzen du lehen baieztapen batek bigarren bat inplikatzen badu, eta bigarrena ez bada egiazkoa, lehenak ezin duela egiazkoa izan inferitu daitekeela. Hau da, <math>P</math>-k <math>Q</math> inplikatzen badu, eta <math>Q</math> ez bada egiazkoa, orduan <math>P</math> ere ez da egiazkoa.
+''Modus tollendo tollens'' inferentzia-erregelak ezartzen du lehen baieztapen batek bigarren bat [[Inplikazio|inplikatzen]] badu, eta bigarrena ez bada egiazkoa, lehenak ezin duela egiazkoa izan [[Inferentzia|inferitu]] daitekeela. Hau da, <math>P</math>-k <math>Q</math> inplikatzen badu, eta <math>Q</math> ez bada egiazkoa, orduan <math>P</math> ere ez da egiazkoa.
 Hori era formalean honela adieraz daiteke:
@@ 9. lerroa: / 9. lerroa: @@
 :<math>\frac{P \to Q, \neg Q}{\therefore \neg P}</math>
-non <math>P \to Q</math>-k esan nahi duen “P-k inplikatzen du Q” eta <math>\neg Q</math>-k esan nahi duen “ez da Q-ren kasua” (edo, laburrago, “ez Q”). Orduan, bai “<math>P \to Q</math>” eta bai “<math>\neg Q</math>” frogapen batean lerro gisa agertzen badira, “<math>\neg P</math>” era baliozkoan jar dezakegu ondorengo lerro batean.
+non <math>P \to Q</math>-k esan nahi duen “P-k inplikatzen du Q” eta <math>\neg Q</math>-k esan nahi duen “ez da Q-ren kasua” (edo, laburrago, “ez Q”). Orduan, bai “<math>P \to Q</math>” eta bai “<math>\neg Q</math>” [[Frogapen formal|frogapen]] batean lerro gisa agertzen badira, “<math>\neg P</math>” era baliozkoan jar dezakegu ondorengo lerro batean.
 Hona hemen ''modus tollendo tollens''-en adibide bat:
@@ 17. lerroa: / 17. lerroa: @@
 : Beraz, ez du euririk ari.
-== Notazio Formala ==
+== Notazio formala ==
 ''Modus tollendo tollens''-en erregela hainbat eratara idatz daiteke.
@@ 24. lerroa: / 24. lerroa: @@
 :<math>P\to Q, \neg Q \vdash \neg P</math>
-<math>\vdash</math> sinbolo metalogikoa da eta <math>\neg P</math>, <math>P \to Q</math>-en eta <math>\neg Q</math>-en ondorio sintaktikoa da sistema logiko batean.
+<math>\vdash</math> sinbolo [[Metalogika|metalogikoa]] da eta <math>\neg P</math>, <math>P \to Q</math>-en eta <math>\neg Q</math>-en ondorio sintaktikoa da sistema logiko batean.
 === ''Modus tollendo tollens'' tautologia egia-funtzionalen baieztapentzat ===
@@ 43. lerroa: / 43. lerroa: @@
 === Idazte konplexuagoak ===
-Askotan, berridazketa konplexuagoak daude barruan ''modus tollendo'' dutenak, adibidez, multzoen teorian.
+Askotan, berridazketa konplexuagoak daude barruan ''modus tollendo'' dutenak, adibidez, [[Multzo-teoria|multzo-teorian]].
 :<math>P\subseteq Q</math>
 :<math>x\notin Q</math>
@@ 49. lerroa: / 49. lerroa: @@
 ("P, Qren azpimultzoa da. x ez dago Qn, beraz x ez dago Pn)
-Lehen ordenako predikatu logikan ere.
+Baita lehen ordenako [[Predikatu-logika|predikatu-logikan]] ere.
 :<math>\forall x:~P(x) \to Q(x)</math>
 :<math>\exists x:~\neg Q(x)</math>
@@ 86. lerroa: / 86. lerroa: @@
 == Egia-taula bidezko justifikazioa ==
-''Modus tollendo tollens''-aren baliozkotasuna argi froga daiteke egia-taula baten bidez.
+''Modus tollendo tollens''-aren baliozkotasuna argi froga daiteke [[egia-taula]] baten bidez.
 {| class="wikitable" style="margin: 0 auto; text-align:center; width:45%"
@@ 119. lerroa: / 119. lerroa: @@
 | 2 || <math>\neg Q</math> || Premisa
 |-
-| 3 || <math>\neg P\or Q</math> || Inplikazio materiala (1)
+| 3 || <math>\neg P\or Q</math> || [[Inplikazio material|Inplikazio materiala]] (1)
 |-
-| 4 || <math>\neg P</math> || Silogismo disjuntiboa (2,3)
+| 4 || <math>\neg P</math> || [[Silogismo disjuntibo|Silogismo disjuntiboa]] (2,3)
 |}
@@ 140. lerroa: / 140. lerroa: @@
 | 4 || <math>Q</math> || [[Modus ponendo ponens|Modus ponens]] (1,3)
 |-
-| 5 || <math>Q \and \neg Q</math> || Konjuntzioa sartzea (2,4)
+| 5 || <math>Q \and \neg Q</math> || [[Konbinazio konjuntibo|Konbinazio konjuntiboa]] (2,4)
 |-
 | 6 || <math>\neg P</math> || ''[[Reductio ad absurdum]]'' (3,5)