(Gaztelaniaz) azalpen grafikoa
Bolzanoren teorema kalkuluko batezbesteko balioaren teoremaren kasu konkretu bat adierazten duen teorema bat da. Bernard Bolzanok proposatu zuen 1817an .
Izan bedi
f
{\displaystyle f}
funtzioa
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
tartean jarraitua. Baldin eta
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
eta
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
balioen zeinuak desberdinak badira, orduan existitzen da
x
0
∈
[
a
,
b
]
:
f
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle x_{0}\in [a,b]:f(x_{0})=0}
den.
Edo errazago esanda, funtzio bat jarraitua den tarte batean positibotik negatibora (edo kontrara) badoa zerotik pasatzen da.
Kontsideratuko dugu
f
(
a
)
>
0
{\displaystyle f(a)>0}
eta
f
(
b
)
<
0
{\displaystyle f(b)<0}
direla eta izan bedi
I
1
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle I1=[a,b]}
tartea. Kontsidera dezagun tarte honen erdiko puntua,
a
+
b
2
{\displaystyle {a+b} \over 2}
.
f
(
a
+
b
2
)
=
0
{\displaystyle f({\frac {a+b}{2}})=0}
bada,
x
0
=
a
+
b
2
{\displaystyle x_{0}={\frac {a+b}{2}}}
izango da, beraz, frogatuta geratzen da.
f
(
a
+
b
2
)
>
0
{\displaystyle f({\frac {a+b}{2}})>0}
bada, izan bitez
a
2
=
a
+
b
2
{\displaystyle a_{2}={\frac {a+b}{2}}}
eta
b
2
=
b
{\displaystyle b_{2}=b}
.
f
(
a
+
b
2
)
<
0
{\displaystyle f({\frac {a+b}{2}})<0}
bada, izan bitez
a
2
=
a
{\displaystyle a_{2}=a}
eta
b
2
=
a
+
b
2
{\displaystyle b_{2}={\frac {a+b}{2}}}
.
I
2
=
[
a
2
,
b
2
]
{\displaystyle I_{2}=[a_{2},b_{2}]}
tartearekin prozesua errepikatuz
I
3
{\displaystyle I_{3}}
tartea lortuko dugu, eta hainbat aldiz errepikatuz
I
n
{\displaystyle I_{n}}
tarteen familia non
|
I
n
|
=
a
n
−
b
n
=
b
−
a
2
n
−
1
{\displaystyle |I_{n}|=a_{n}-b_{n}={\frac {b-a}{2^{n-1}}}}
. Beraz,
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
b
n
=
x
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=x_{0}}
.
f
{\displaystyle f}
jarraitua dela kontsideratuko dugunez,
f
(
x
0
)
=
l
i
m
n
→
∞
f
(
a
n
)
≥
0
{\displaystyle f(x_{0})=lim_{n\to \infty }f(a_{n})\geq 0}
eta
f
(
x
0
)
=
l
i
m
n
→
∞
f
(
b
n
)
≤
0
{\displaystyle f(x_{0})=lim_{n\to \infty }f(b_{n})\leq 0}
.
Beraz,
f
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0})=0}
, eta Bolzanoren teorema demostratuta geratzen da.
Irudi honetan ikus dezakegun bezala, teoremaren baldintza guztiak betetzen dira, hau da,
f
(
a
)
>
0
{\displaystyle f(a)>0}
eta
f
(
b
)
<
0
{\displaystyle f(b)<0}
dira eta funtzioa jarraia da
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
tartean. Beraz, ikusi dezakegunez, badago
c
=
x
0
{\displaystyle c=x_{0}}
non
f
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0})=0}
den.
Hala ere,ez da soilik puntu bakar bat egon behar eta posible da bat baino gehiago egotea.