Khi-karratu banaketa

Artikulu hau probabilitate-banaketari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Khi-karratu».

Khi-karratu banaketa (edo khi karratuaren banaketa) estatistika inferentzialean gehien erabiltzen den probabilitate-banaketetako bat da. Batez ere, hipotesi-testetan (hipotesi-proba ere deitutakoak) eta konfiantza-tarteen eraikuntzan erabili ohi da.

Khi-karratu banaketa ondokoa da: banaketa normalaren araberako $k$ zorizko aldagaik hartzen dituzten balioen karratuen baturaren banaketa. Gainera, hipotesi-proba baterako banaketa normal bat erabili ahal den guztietan, khi-karratu banaketa ere erabil daiteke.^[1]^[2]^[3]^[4]

$k$ balioa (non $k$ zenbaki osoa den) khi-karratu banaketaren parametro bakarra da, zehazki, askatasun-graduen kopurua da.

Historia

Banaketa hau Friedrich Robert Helmert alemaniar geodesilari eta estatistikariak deskribatu zuen lehen aldiz 1876-1876 bitarteko artikuluetan.^[5] Bertan, populazio normal baten lagin-bariantzaren banaketa kalkulatu zuen. Horrela, alemanez, tradizionalki Helmert’sche (“helmertiarra”) edo “Helmerten banaketa” izenez ezagutzen zen.

Gero, Karl Pearson matematikari ingelesak modu independentean berraurkitu zuen banaketa, doikuntza egokitasunaren testuinguruan.^[5] Horretarako, Pearsonen khi-karratu proba garatu zuen eta 1900. urtean argitaratu.

Aplikazioak

Khi-karratu banaketa hipotesi-probetan erabiltzen da batez ere, eta, neurri txikiagoan, populazioaren bariantzarako, konfiantza-tarteen eraikuntzan, azpiko banaketa normala denean. Beste banaketa ezagunago batzuk ez bezala, hala nola banaketa normala eta banaketa esponentziala, khi-karratu banaketa ez da hain maiz aplikatzen fenomeno naturalen modelizazio zuzenean. Ondoko hipotesi-proba hauetan erabiltzen da, besteak beste: independentziarako khi-karratu proban eta kontingentzia-tauletan.

Kontingentzia-taulak aztertzen direnean, khi-karratu estatistikoa erabiltzen da bi aldagaien artean independentzia dagoen ala ez erabakitzeko. Hau independentziarako khi-karratu probaren bitartez egiten da.

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}$

$O_{i}$ : gelaxka ezberdinetako behatutako maiztasuna da.

$E_{i}$ : gelaxka ezberdinetako itxarondako maiztasunak dira.

Khi-karratua kalkulatzeko, nahikoa da taulako gelaxka guztietarako ${\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}$ kalkulatzea eta emaitzen batuketa egitea. Khi-karratu estatistikoa zenbat eta handiagoa, orduan eta handiagoa izango da bi aldagaien arteko dependentzia.

Bi aldagaiak independenteak diren ikusteko, khi-karratu banaketa erabiltzen den hipotesi kontrastea egingo dugu:

${\begin{cases}H_{0}:{\text{Aldagaiak independenteak dira}}\\H_{1}:{\text{Aldagaiak ez dira independenteak}}\end{cases}}$

Hipotesi nulua onartzeko edo baztertzeko, khi-karratu estatistikoa kalkulatzen da eta khi-karratu kritiko izeneko balio batekin konparatzen da. Azken balio hori k askatasun graduren eta adierazgarritasun-mailaren araberakoa da. Khi-karratu kritikoen balio horiek hurrengo taularen bidez zehazten dira:

Orduan, khi-karratu estatistikoa khi-karratu estatistikoa $(\chi ^{2})<$ khi-karratu kritikoa $(\chi _{\text{kritiko}}^{2})$ bada, $H_{0}$ onartzen da, bestela, baztertu egiten da.

Adibidea

Ikasle batzuen inguruan, ondoko datuak jaso dira: haien sexua edo generoa, batetik, eta azterketa bat gainditu duten, bestetik.

Kontingentzia-taula honetan aztertzen dira datuak:


	GAINDITZEA	EZ GAINDITZEA	GUZTIZKO
GIZON	$43$	$29$	$72$
EMAKUME	$44$	$14$	$58$
GUZTIZKO	$87$	$43$	$130$

Aurreko maiztasunak behatutako maiztasunak dira. Itxarondako maiztasunak kalkulatzen dira hurrengo formula erabiltzen:

${\frac {({\text{errenkadeko guztizkoa}})\times ({\text{zutabeko guztizkoa}})}{\text{guztizko orokorra}}}$

	GAINDITZEA	EZ GAINDITZEA	GUZTIZKO
GIZON	${\frac {72\times 87}{130}}=48.18$	${\frac {72\times 43}{130}}=23.82$	$72$
EMAKUME	${\frac {58\times 87}{130}}=38.82$	${\frac {58\times 43}{130}}=19.18$	$58$
GUZTIZKO	$87$	$43$	$130$

Gelaxka hauetako zenbatekoen batura izango da, hain zuzen, khi-karratu estatistikoa:

$\chi ^{2}=0.56+1.13+0.69+1.40=3.78$

“ Azterketa gainditzea” eta “generoa” aldagai independenteak diren ikusteko, khi-karratu banaketa erabiltzen den hipotesi kontrastea egingo dugu:

${\begin{cases}H_{0}:{\text{Gainditzea eta generoa independenteak dira}}\\H_{1}:{\text{Gainditzea eta generoa ez dira independenteak}}\end{cases}}$

Kontraste hau $\alpha =0.05$ ekin egiten da, hau da, % 5eko adierazgarritasun-mailarekin. % 5eko adierazgarritasun-maila izateak esan nahi du onartzen dugula % 5eko okertzeko aukera egon daitekeela.

Orduan, khi-karratu estatistikoa 3.78 denez, khi-karratu kritikoa zehaztu behar da. Aldagai bakoitzak bi aldagai dituenez (generoa: emakume eta gizon, gainditzea: bai eta ez), askatasun graduen kopurua $k=(2-1)(2-1)=1$ da. Orain, taulan bilatu behar da $\chi _{k;\alpha }^{2}=\chi _{1;0.05}^{2}$ balioa:

$\chi _{\text{kritikoa}}^{2}=3.841$ da.

Bukatzeko, lortutako bi balioak alderatu behar dira. $\chi _{\text{kritikoa}}^{2}>\chi ^{2}$ denez, hipotesi nulua onartzen da; eta ondorioztatzen da bi aldagaiak independenteak direla % 5eko adierazgarritasun-mailarekin. Beraz, “gainditzea” aldagaiak ez du zerikusirik “generoa” aldagaiarekin.^[6]

Erreferentziak

↑ Abramowitz, Milton, ed. (2013). Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables. (9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. argitaraldia) Dover Publ ISBN 978-0-486-61272-0. (kontsulta data: 2025-12-04).
↑ «Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution» www.itl.nist.gov (kontsulta data: 2025-12-04).
↑ Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. (1994). Continuous univariate distributions. 1. (2. ed., 3. [print.] - 1994. argitaraldia) Wiley ISBN 978-0-471-58495-7. (kontsulta data: 2025-12-04).
↑ Mood, Alexander McFarlane; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C.. (1996). Introduction to the theory of statistics. (3. ed., 23. [print.]. argitaraldia) McGraw-Hill ISBN 978-0-07-042864-5. (kontsulta data: 2025-12-04).
1 2 Hald, Anders. (1998). A history of mathematical statistics from 1750 to 1930. Wiley ISBN 978-0-471-17912-2. (kontsulta data: 2025-12-04).
↑ (Gaztelaniaz) «Chi-cuadrado (χ²): distribución, cómo se calcula, ejemplos» Lifeder 2020-08-11 (kontsulta data: 2025-12-04).

Kanpo estekak

Datuak: Q243462
Multimedia: Chi-square distribution / Q243462

[1] Abramowitz, Milton, ed. (2013). Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables. (9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. argitaraldia) Dover Publ ISBN 978-0-486-61272-0. (kontsulta data: 2025-12-04).

[2] «Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution» www.itl.nist.gov (kontsulta data: 2025-12-04).

[3] Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. (1994). Continuous univariate distributions. 1. (2. ed., 3. [print.] - 1994. argitaraldia) Wiley ISBN 978-0-471-58495-7. (kontsulta data: 2025-12-04).

[4] Mood, Alexander McFarlane; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C.. (1996). Introduction to the theory of statistics. (3. ed., 23. [print.]. argitaraldia) McGraw-Hill ISBN 978-0-07-042864-5. (kontsulta data: 2025-12-04).

[:0-5] 1 2 Hald, Anders. (1998). A history of mathematical statistics from 1750 to 1930. Wiley ISBN 978-0-471-17912-2. (kontsulta data: 2025-12-04).

[6] (Gaztelaniaz) «Chi-cuadrado (χ²): distribución, cómo se calcula, ejemplos» Lifeder 2020-08-11 (kontsulta data: 2025-12-04).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]