Konparaziozko irizpidea

Izan bitez $\sum a_{n}$ eta $\sum b_{n}$ gai positiboko serieak, ${\displaystyle \sum a_{n}}<<\sum b_{n}$ izanik, hau da, $\sum a_{n}$ seriea $\sum b_{n}$ seriearen minorantea izanik. Orduan,

(i) $\sum b_{n}$ konbergentea bada, $\sum a_{n}$ ere konbergentea da.

(ii) $\sum a_{n}$ dibergentea bada, $\sum b_{n}$ ere dibergentea da.

Froga

(i) atalaren froga:

Izan bitez $\{S_{n}\}$, $\sum a_{n}$ seriaren batura partzialen segida eta $\{S'_{n}\}$ , $\sum b_{n}$ seriearen batura partzialen segida.

$a_{n}\leq b_{n},\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow S_{n}\leq S'_{n},\forall n\in \mathbb {N}$

Orduan, $\sum b_{n}$ konbergentea $\Longleftrightarrow \{S'_{n}\}$ goitik bornatua $\Longrightarrow \{S_{n}\}$ goitik bornatua $\Longleftrightarrow$ $\sum a_{n}$ konbergentea.

(ii) atalaren froga:

Absurdura eramanez, demagun $\sum a_{n}$ dibergentea izanik, $\sum b_{n}$ konbergentea dela. Baina, orduan, (i) atala aplikatuz $\sum a_{n}$ konbergentea izango litzateke eta hori absurdua da.

Ondorioz, $\sum b_{n}$ dibergentea da.

Adibidea

Azter dezagun $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}$ seriearen izaera.

Argi ikus daiteke gai positiboko seriea dela, beraz, konparazio irizpidea aplika daiteke.

$\cos ^{2}(n^{2}-7)\leq 1,\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow {\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}\leq {\frac {2}{n^{2}}},\forall n\in \mathbb {N}$

Hau da, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}$ seriea $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n^{2}}}$ seriearen minorantea da $({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}}<<\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n^{2}}})$.

$\sum {\frac {1}{n^{2}}}$ seriea kobergentea denez $\Longrightarrow {\displaystyle \sum {\frac {2}{n^{2}}}}$ seriea ere konbergentea da. Orduan, bukatzeko eta konparazio irizpidea aplikatuz, $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+\cos ^{2}(n^{2}-7)}{n^{2}}}$ seriea ere konbergentea da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q1050206