Lankide:A4 taldea/Proba orria

Matematikan, a zenbaki baten n ordenako erroak aurkitzeko prozesua da erroketa.

Beraz, honako hau egiaztatzen da; ${\sqrt[{n}]{a}}=x$, non n indizea edo ordena den, a errotzailea, eta x n-garren erroa.

• $a$-ren bigarren ordenako erroari $a$-ren erro karratu deritzo eta ${\sqrt {a}}$ edota ${\sqrt[{2}]{a}}$ modura denotatzen da.

• $a$-ren hirugarren ordenako erroari $a$-ren erro kubo deritzo eta ${\sqrt[{3}]{a}}$ modura denotatzen da.

• Goi-ordenako erroei zenbaki ordinalak deritze; adibidez, laugarren erroa, bosgarren erroa, seigarren erroa edo zazpigarren erroa.

Erroketa berreketaren alderantzizko eragiketa da.

Definizioa eta notazioa

a zenbaki baten n-garren erroa, ondorengo ekuazioaren n emaitza erreal edo konplexuetako edozeini esaten zaio,

$x^{n}-a=0$

non x ezezaguna den eta non n zenbaki oso positibo bat den. Honela adierazten da: ${\sqrt[{n}]{a}}$. Horrela, ondoko baliokidetasuna lortzen da:

$x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}$.

Erro karratua (n = 2) askotan goi-indize gabe idazten da, hau da, ${\sqrt {a}}$ , ${\sqrt[{2}]{a}}$ beharrean. n = 1 kasurako, erroa idaztea edo ez idaztea baliokidea da: ${\sqrt[{1}]{a}}=a$.

Zenbaki erreal positiboen barruan beti aurki daiteke n-garren erro positibo bakarra. Bestalde, a zenbakia negatiboa bada,n indizea bakoitia denean soilik existituko da erro erreal bat. n indizea bikoitia denean, aldiz, zenbaki negatibo baten n-garren erroa ez da zenbaki erreala (ez dago zenbaki errealen barruan definituta).

Zenbaki konplexuen barruan, z zenbaki bakoitzerako zehazki n n-garren erro desberdin aurki daitezke.

Oinarri matematikoak

Berreketarekiko harremana

n ordenako erroketa eta ordena bereko berreketa elkarren artean baliogabetzen dira. a zenbaki erreal positiboetarako eta n arruntetarako erroaren definizio orokorra hartuz, hau lortzen da: $\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a$

Zenbaki baten n orden jakin bateko erroa, zenbaki hori ${\tfrac {1}{n}}$ alderantzizko berreketarekin berretzearen baliokidea da. Berreketa arauen arabera, $\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a$.

Beraz, n ordenako erroketa, ${\tfrac {1}{n}}$ berretzailearen berreketa adierazteko beste modu bat bezala uler daiteke: ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$.

Zenbaki positiboen erroen singulartasuna

Zenbaki positiboen erroak aurkitu aurretik aipaturiko problemak, zeinu desberdineko bi ebazpen ditu n bikoitia denean. Hala ere, erroketari aplikaturiko ${\sqrt {\ }}$ ikurrak funtzio bat adierazten du, eta beraz, printzipioz emaitza positiborako den balio bakarra itzuli behar du. Adibidez, $x^{2}=4$ ekuazioak +2 eta -2 soluzioak ditu, baina ${\sqrt {4}}$-ri 2 soluzioa esleitzen zaio, eta ez -2 balioa.

Zenbaki negatiboen erroak

Zenbaki negatiboen erroekin ez da uniformeki lan egiten. Adibidez,

$(-2)^{3}=-8$

da, eta hortik lor dezakegu -2 dela zenbaki erreal bakarra zeinen kuboa -8 den. Oro har, berretzaile arrunt bakoitiko zenbaki negatiboen potentziek zenbaki negatiboak emango dituzte.

Zenbaki negatiboen erro bakoitiei dagokienez, erroaren barruan ez da zeinu negatiboa jartzen, zehaztugabetzat jo daitekeelako edo txarto definituta egon daitekeelako. Irizpide hori erabiliz, $x^{3}=-8$ ekuazioaren emaitza $-{\sqrt[{3}]{8}}$ bezala adierazi behar da, eta ez ${\sqrt[{3}]{-8}}$ bezala. Horrela idatzita, zenbaki negatiboen erroak onartzen dira erroaren indizea zenbaki bakoitia bada, (3, 5, 7, ...), non

${\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}$

den. Erroak horrela adierazteak erro positiboetarako baliagarriak diren propietate batzuekiko kontraesanak saihesten ditu. Horren erakusgarri izan daiteke:

$-2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.$

Mugagabetzat jotzen den adierazpenak ere ez du balio formula honekin,

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\ln a\right)}$,

zenbaki negatibo baten logaritmoa ez dagoelako definituta (a ezin da negatiboa izan). Zenbaki negatiboen indize bikoitidun erroak ezin dira zenbaki errealak izan, zenbaki horien berretzaile bikoitien berreturak ez baitira inoiz negatiboak. Ez dago x errealik non $x^{2}=-1$ betetzen den, eta, beraz, zenbaki errealen barruan ezin da $x={\sqrt {-1}}$ aurkitu. Zenbaki negatiboen erroen beharrak zenbaki konplexuak sartzea ahalbidetu zuen. Hala ere, zenbaki konplexuen eremuan, zenbaki negatiboen erroek ere murrizketa batzuk dituzte.

Propietateak

Aurretik aipatutakoagatik, berreketaren propietateak erroketarekin ere betetzen dira. Propietate hauek bete daitezen, erroen errokizuna positiboa izatea eskatzen da.

Biderkadura baten erroa

Produktu baten erroa, aurretik aipatutako biderkagaien erroen produktuaren berdina da:

${\sqrt[{n}]{{a}\cdot {b}}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$

Adibidez,

${\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}$ = ${\sqrt {3^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{4}}}$ = ${\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {16}}=3\cdot 4=12.$

Hurrengo erara emaitza bera lortzen da:

${\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}={\sqrt {9\cdot 16}}={\sqrt {144}}=12.$

Zatidura baten erroa

Zatiki baten erroa zenbakitzailearen erroaren eta izendatzailearen erroaren zatiketaren berdina da.

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {a^{1/n}}{b^{1/n}}}$ = ${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Adibidez, ${\sqrt {\frac {9}{4}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {4}}}$ = ${\frac {3}{2}}.$

Erro baten erroa

Erro baten erroa kalkulatzeko, erroen errotzaileak biderkatzen dira eta errokizuna mantentzen da:

${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}$ = ${\sqrt[{n\cdot m}]{a}}.$

Adibidez,

${\sqrt[{3}]{\sqrt[{2}]{64}}}={\sqrt[{3\cdot 2}]{64}}={\sqrt[{6}]{64}}=2$

Erro baten berretura

Erro baten berretura kalkulatzeko, errokizuna berreketa horrekin berretzen da:

$\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$

Adibidez, m = 3 eta n = 4 badira:

$\left({\sqrt[{4}]{x}}\right)^{3}={\sqrt[{4}]{x^{3}}}=x^{\frac {3}{4}}$.

Beste propietate batzuk

Oinarrizko propietateak erabiliz, beste propietate batzuk lor daitezke. Adibidez, indize desberdinak baina errokizun bera duten erroen biderkadura, erroen indizeak biderkatuz eta indizeen baturak sortzen duen erroa mantenduz lortzen den propietatea da.

${\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}=a^{\frac {m+n}{mn}}={\sqrt[{m\cdot n}]{{a}^{m+n}}}$.

Forma sinplifikatuak

Habiarik gabeko adierazpen erradikal bat (hau da, bere barruan beste errotzailerik ez duen erro bat) forma sinplifikatuan dagoela esaten da baldin eta

1. Ez du errokizunenan biderkagairik indizea baino handiagoa edo berdina den potentzia bezala idatz daitekeena.
2. Ez dago indizearen biderkagairik erroaren barruan.
3. Ez dago errotzailerik izendatzailean.

Adibidez, ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ adierazpen erradikala forma sinplifikatuan idazteko, hurrengo pausuak jarraitu behar dira. Hasteko, karratu perfektuak bilatzen dira erro karratuaren barruan eta kanpora ateratzen dira:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Ondoren, zatiki bat dago erro karratuaren barruan eta honela aldatzen da:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Azkenik, izendatzailearen errotzailea honela ezabatzen da:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

Errotzaileen batuketa eta kenketa

Antzeko errotzaileak, sinplifikatu ostean errotzaile eta errokizun bera dutenak dira. Antzeko errotzaileak batzeko eta kentzeko, termino guztiek amankomunean duten errotzailea ateratzen da biderkagai komun gisa. Antzekoak ez badira, ezin izango dira terminoak batu edota kendu. Adibidez,

$7{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{3}}+10{\sqrt[{4}]{3}}=(7+1+10){\sqrt[{4}]{3}}=18{\sqrt[{4}]{3}}.$

Arrazionalizazioa

Adierazpen bat arrazionalizatzea izendatzailearen errotzailea ezabatzean datza, hasierako adierazpena adierazpen baliokide baten bihurtuz. . Kasurik sinpleena izendatzailean ${\sqrt[{n}]{a^{p}}}$ n-garren erro bakarra dagoenean da, non izendatzailea, zenbakitzailea eta izendatzailea ${\sqrt[{n}]{{a}^{n-p}}}$ adierazpenarekin biderkatuz sinplifikatzen den.

Errotzaileak dituen izendatzaile bat dagoenean, beti aurki daiteke biderkagai bat izendatzailea eta zenbakitzailea biderkatzeko, eta horrela, adierazpena sinplifikatzeko. Adibidez, bi erro kuboren baturaren faktorizazioa erabiliz:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

Por ejemplo, usando la factorización de la suma de dos cubos:

n-garren erroaren kalkulua

Funtzioen bidez

Erroaren kalkulu eraginkorra logaritmo eta esponentzial funtzioen bidez egiten da:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {\ln {x}}{n}}\right)$

non x zenbaki erreal positiboa izan behar duen.

n-garren erroaren algoritmoa

A zenbaki baten n-garren erroa, Newtonen metodoaren kasu berezia den n-garren erroaren algoritmoa erabiliz kalkula daiteke. Algoritmoa x₀ hasierako balioarekin hasten da, eta ondoren, $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)$ errepikapen-erlazioa erabiliz iteratzen da, nahi den zehaztasuna lortu arte.

Erabileraren arabera, nahikoa izan daiteke soilik Newtonen metodoaren lehen hurbilketa erabiltzea:

${\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.$

Adibidez, 34ren bosgarren erroa aurkitzeko, kontuan izan 25 = 32 dela. Beraz, aurreko formulan x = 2, n = 5 eta y = 2 aukeratuz:

${\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.$

Hurbilketaren errorea %0,03koa baino ez da.

n-garren errorako, Newtonen metodoa alda daiteke zatiki jarraitu orokor bat sortzeko. Hainbat modutan adieraz daiteke, haien artean:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};$

${\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.$

Serie infinituak

n-garren erroa serie infinitu baten bidez adieraz daiteke:

${\sqrt[{n}]{1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/n}{k}}x^{k}$

non

${\binom {1/n}{k}}={\frac {{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{n}}-1\right)\left({\frac {1}{n}}-2\right)\cdots \left({\frac {1}{n}}-k+1\right)}{k!}}$

den ${\tbinom {1/n}{0}}=1$ hasierako balioarekin, biderketa hutsa delako. Serie honek | x | < 1 denean konbergitzen du eta haren adierazpena serie binomialetik dator.

Zenbaki konplexuak

z zenbaki konplexua bada, modulu eta argumentu bidez (forma polarra) adieraz daiteke:

$z=a+bi=\rho e_{}^{i\theta }$, non $\;\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}eta\quad \theta =\arg(a+bi)$ diren.

Era honetan, forma polarrean, $x_{}^{n}=z$ ekuaziorako behar diren z-ren n-garren erroak formula honen bidez kalkula daitezke:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho e^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{i{\theta +2\pi k \over n}},\ k\in \{0,1,\cdots ,n-1\}$

Beraz, zenbaki konplexu batek n erro desberdin ditu. Plano konplexuan, jatorrian zentroa duten n aldeko poligono erregular baten erpinetan daude erroak. Erro kuboa eta poligono horren erdigunetik erpinetara dagoen distantzia ${\sqrt[{n}]{\rho }}$ da.

Adibidez,

${\sqrt[{3}]{1}}={\sqrt[{3}]{1\,e^{i0}}}=\left\{{\begin{array}{ccc}{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 0 \over 3}}&=&1+0i\\{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 1 \over 3}}&=&-{1 \over 2}+{{\sqrt {3}} \over 2}i\\{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 2 \over 3}}&=&-{1 \over 2}-{{\sqrt {3}} \over 2}i\end{array}}\right.$

Ikus, gainera

• Erro karratua
• Erro kubikoa
• Unitatearen erroa
• Funtzio esponentziala
• Erradikal hierarkizatua
• [Erradikalen arrazionalizazioa]]