Lankide:Iuneperez/Proba orria

Laplaceren teorema

Laplaceren teorema, Laplaceren erregela ere deitua, teorema matematikoa da dimentsio handiko matrizeen determinanteen kalkulua sinplifikatzeko aukera ematen duena, hau determinante txikien batuketan deskonposatuz. .

Teoremak baieztatzen du matrize baten determinantearen balioa errenkada edo zutabe bateko elementu bakoitza bider bere matrize adjuntuaren determinantea kalkulatu eta ondoren horien batuketa egitean lortzen denaren berdina dela. Horrela, n dimentsioko determinante bat n-1 dimentsioko n determinantera txikitzen da. Hau behin da berriz aplikatuz 3x3ko (sarrusen erregela bidez kalkula daitekena) edo 2x2ko (diagonal nagusiari beste diagonala kenduz kalkula daitekeena) matrizea lortzea ahalbidetzen du.

Kontzeptuak

Laplaceren teorema ulertu ahal beharrezkoa da hainbat kontzeptu ezagutzea.

Matrize karatua

Matrize karratu deritzo zutabe eta errenkada kopuru berdina duen matrizeari, hau da, n zutabe eta n errenkada duen matrizeari. nxn bezala adierazten da eta n ordenekoa dela esaten da.

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}}$

Minore osagarria

n ordeneko A matrize karratu bat hartuta, FORMULA elementuaren minore osagarria esaten zaio eta FORMULA bezala adierazten da A matrizetik i errenkada eta j zutabea kentzerakoan geratzen den n-1 ordeneko matrize karratuaren determinanteari.

Izan bedi 5 ordeneko matrize karratua:

FORMULA

FORMULA-ren minore osagarria FORMULA da:

FORMULA

FORMULA-ren minore osagarria FORMULA da:

FORMULA

Elementu baten adjuntua

FORMULA elementuaren adjuntoa deitzen zaio eta FORMULA bezala adierazten da (+) edo (-) eranstean geratzen den determinanteari.

• i+j bikoitia denean (+) eransten zaio minore osagarriari.
• i+j bakoitia denean (-) eransten zaio minore osagarriari.

FORMULA

Izan bedi 5 ordeneko matrize karratua:

FORMULA

FORMULA-ren minore osagarria FORMULA da:

FORMULA

FORMULA-ren minore osagarria FORMULA da:

FORMULA

OROKORREAN

Laplazeren teoremaren arabera, n ordenako matrize karratu bat hartuz, bere determinantearen balioa errenkada edo zutabe bateko elementu bakoitza bider bere matrize adjuntuaren determinantea kalkulatu eta ondoren horien batuketa egitean lortzen denaren berdina da.

e edozein errenkada izanda:

FORMULA

z edozein zutabe izanda:

FORMULA

ADIBIDEA

FORMULAK