Lankide:Naiiiara/Proba orria

Definizio formala

$f(t)$ funtzio baten Laplaceren transformazioa, edozein $t\geq 0$ zenbaki errealetarako definituta, $F(s)$ funtzioa da, zeina transformazio unilaterala den hurrengo moduan definiturik:

$$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\exp(-st)dt$$

non $s$ maiztasun parametro konplexua den,

$s=\sigma +i\omega$

$\sigma$ eta $\omega$ zenbaki errealak izanik.

Laplaceren transformazioa adierazteko beste notazio bat ${\mathcal {L}}\{f\}$ izan daiteke, $F$-ren ordez.

Integralaren existentziarako, f lokalki integragarri izan behar da $[0,\infty )$ tartean. Lokalki integragarri diren funtzioak, zeinak infinituan ahultzen diren edo esponentzialak diren ($|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$), Lebesgueren integral zuzentzat har daitezke. Hala ere, hainbat aplikaziotarako, integral hori infinituan integral inpropiotzat hartuko dugu, zeinak konbergentzia baldintzatuta duen.

Borelen neurketa finitu baten ($\mu$) Laplaceren transformazioa honela defini daiteke:

$${\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t)$$

.

Kasu berezi bat daukagu $\mu$ probabilitate neurketa bat denean, adibidez, Diracen delta funtzioaren kasuan. Analisi diferentzialean, neurketa baten Laplaceren transformazioa $f$ probabilitate dentsitate funtziotik datorrela suposatuko da. Kasu horretan, Laplaceren transformazioa hurrengo moduan adieraziko da, sor daitezkeen nahasketak ekiditeko:

$${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{-\epsilon }^{\infty }f(t)e^{-st}dt.$$

Limite horrek adierazten du 0an kokatuta dagoen edozein masa puntual guztiz sartuta dagoela Laplaceren transformazioan. Hala ere, Lebesgueren integrala erabiliz gero, ez litzateke beharrezkoa izango limite hori hartzea, modu zuzenago batean erlazionatzen delako Laplace-Stieltjesen transformazioarekin.

Laplaceren transformazio bilaterala

"Laplaceren transformazioa" aipatzen denean besterik gabe, transformazio unilaterala ulertzen da. Beste aukera bat Laplaceren transformazioa definitzeko, Laplaceren transformazio bilaterala edo aldebiko Laplaceren transformatua izan daiteke, integrazio limiteak ardatz erreal osora zabalduz. Hori eginez gero, transformazioaren definizio unilateral orokorra transformazio bilateralaren kasu berezi bat bihurtzen da (non transformatzen den funtzioaren definizioa biderkatzen den bider maila-funtzioa).

Laplaceren transformazio bilaterala ${\mathcal {F}}(s)$ honela defini daiteke:

$${\mathcal {F}}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt$$

${\mathcal {F}}$-ren ordez, ${\mathcal {B}}(f)$ adieraz daiteke.

Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa

Bi funtzio integragarrik Laplaceren transformazio bera izango dute, baldin eta haien arteko diferentzia zero multzo bat bada Lebesgue neurketan. Horrek alderantzizko transformazio bat dagoela esan nahi du transformatuaren tartean. Izatez, Laplaceren transformazioa funtzio injektiboa da funtzio-espazio batetik bestera, nahiz eta tartearen bereizketa zaila izan.

Kasu horietan, Laplaceren transformazioaren irudia konbergentzia eremuko funtzio analitikoen eremuan aurkitzen da. Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa hurrengo integral konplexua itzuliko du, izendatzeko hainbat modu dauzkana (Bromwich integrala, Fourier-Mellin integrala, eta Mellinen alderantzizko formula):

$$f(t)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\mathcal {F}}\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\rightarrow \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}{\mathcal {F}}(s)ds$$

non $\gamma$ zenbaki erreal bat den, integrazio eremua ${\mathcal {F}}(s)$-ren konbergentzia eremuan egon dadin. Erabiltzen den gehienetan eremua itxia izan daiteke, Cauchyren hondarraren teorema aplikatzeko aukera emanez. Posten inbertsio formula beste formula aukera bat Laplaceren alderantzizko transformazioa kalkulatzeko izan daiteke, limitea ahul-*topologian bilatuz.

Praktikoki, orokorrean, erabilgarriagoa da Laplaceren transformazioa taulatik ateratako ezagunak diren funtzioen trasformazioetan banantzea, eta alderantzizkoa ikuskatuz eraikitzea.

Probabilitate teoria

Probabilitate puruan eta aplikatuan, Laplaceren transformatua itxarondako baliotzat defini daiteke. X ausazko aldagaia izanik,

f dentsitate-funtzioa duena, hurrengoa izango da f-ren Laplaceren transformazioa:

$${\mathcal {L}}\{{\mathcal {f}}\}(s)=E[e^{-sX}].$$

Hitzarmenez, horri X ausazko aldagaiaren Laplaceren transformazioa deitzen diogu. s aldagaia -t-z ordezkatuz gero, X-ren momentu sortzaile funtzioa lortuko da. Laplaceren transformazioa erabilia da probabilitate teorian, prozesu estokastikoak barne hartuz, esate baterako, Markov prozesua.

Laplaceren transformazioa baliagarria da banaketa-funtzioa berreskuratzeko, X ausazko aldagai jarraituarena hain zuzen, honela erabiliz:

$$F_{X}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}E[e^{-sX}]\}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\}(x)$$