Pellen ekuazioa:
bateragarria dela frogatzen du Dirichletek.
Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baduenez, badu ebazpen minimo bat, ebazpen minimo honek gainerako ebazpenak eratzen dituenez, ebazpen minimo hau oinarrizko ebazpen izendatuko da.
Oinarrizko ebazpena existitzen dela frogatuko da atal honetan eta oinarrizko ebazpenetik abiatuta gainerako ebazpenak eratzeko errekurrentzi arau bat finkatuko da.
Definizioa
-ren edozein baliorentzat
edo
, beti dira
, ekuazioaren ebazpen. Ebazpen hauek ebazpen neutroak edo berealakoak izendatzen dira.
,
ekuazioaren ebazpena bada eta bi osagaiak positiboak badira:
, ebazpen hori ebazpen positibo izendatuko da .(Testuinguru honetan).
Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik,
,
ekuazioaren oinarrizko ebazpena izendatuko da,
positiboa bada ( hots:
), eta edozein ebazpen positibo emanik:
.
Ondorengo proposizioan oinarrizko ebazpena existitzen dela frogatuko da.
Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik,
ekuazioak badu oinarrizko ebazpena.
Froga
Dirichleten emaitzagatik:
Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik,
ekuazioak badu ebazpen ez neutro bat:
, eta beraz:
eta
zenbakiak ere ebazpen ez neutroak dira. Horietako bakar bat da positiboa:
positiboa dela suposatuko da orokortasuna galdu gabe. Honela:
aukeratuz ebazpen minimoa edo oinarrizko ebazpena existitzen da.
Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik,
,
ekuazioaren oinarrizko
ebazpena bada. Ebazpen positibo guztiak ondorengo multzoan daude:
Froga
Ebazpena dela frogatuko da.
Ebazpena denez:
, adierazpena
aldagaia duen
. graduko polinomio gisara ikus daiteke. Newtonen bidezko binomioaren garapena eginez:
adierazten bada:
koefizienteak modu bakarrean determinatzen dira:
,
-ren berretzaile bakoitiak ezabatzen dira.
,
-ren berretzaile bikoitiak ezabatzen dira.
- Edozein ebazpen positibo
gisakoa dela frogatuko da.
Absurdura bideratuz suposa bedi,
ebazpen positiboa dela eta ez dela
gisakoa.
segida ertsiki gorakorra denez,
-rekiko:
. ![{\displaystyle \exists n\geq 0:(a+b{\sqrt {p}})^{n}<u_{0}+v_{0}{\sqrt {p}}<(a+b{\sqrt {p}})^{n+1}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c015805668407430327069b6f1ff2e2abc2a97)
![{\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})^{n-1}<{\frac {u_{0}+v_{0}{\sqrt {p}}}{a+b{\sqrt {p}}}}<(a+b{\sqrt {p}})^{n};n\geq 1bada}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785ba41ab73cbfefb5960200cf10432ea57db462)
adieraziz ondorengo emaitza lortu da:
.
- Ikus dezagun
ebazpena dela. ![{\displaystyle (u_{0}a-v_{0}bp)^{2}-(v_{0}a-u_{0}b)^{2}p=(u_{0}a)^{2}+(v_{0}bp)^{2}-(v_{0}a)^{2}p-(u_{0}b)^{2}p=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2fa25d717aa86e386db1fdcf9cbbb2402e5f49)
![{\displaystyle (u_{0}a)^{2}+(v_{0}bp)^{2}-(v_{0}a)^{2}p-(u_{0}b)^{2}p=a^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2}p)+b^{2}p(v_{0}^{2}p-u_{0}^{2})=a^{2}-b^{2}p=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd12b2d5f91cf129b045a3274c83a75fc080462)
- Ikus dezagun
ebazpen positiboa dela. Edozein ebazpen positibok:
, ondorengo desberdintza betetzen du.
,
eta
positiboak direnez:
.
- Ikus dezagun beste osagaia:
positiboa dela. Absurdura bideratuz
bada.
. Eta bestalde:
, ezinezkoa. Eta ondorioz
positiboa da.
- Ondorengo errekurrentzi araua ondorioaztatu da. Baldin eta existizen bada
ebazpen postiboa eta ez dena
gisakoa, orduan existitzen da
:ebazpen positiboa, ez dena
gisakoa, eta
baino txikiagoa.
Araua
aldiz errepikatuz: Existizen da :
, ebazpen positboa non:
. Eta bestalde
ebazpen minioa izateagatik:
. Ezinezkoa da.
- Ondorioa: edozein ebazpen positibo
gisakoa da.