Edukira joan

Pellen ekuazioaren bateragarritasuna

Wikipedia, Entziklopedia askea

Pell-en ekuazioa bateragarria da.

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pellen ekuazioa: , bateragarria da, edozein zenbaki arrunt eta ez karratu izanik. Pell-en ekuazioak beti onartzen du ebazpen neutroa: , horregatik bateragarria dela diogunean, neutroa ez den ebazpen baten existentziaz mintzo gara.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Pell-en ekuazioa bateragarria dela frogatuko da, edozein zenbaki arrunt eta ez karratu izanik. Honetarako Dirichlet-en bidea jarraituz: Lema bat, korolario bat eta proposizio bat frogatuz.

Oharra: Notazioetan, bitartea erabiliko da, multzoa adierazteko, eta , berriz, -ren zati osoa adierazteko.

, aleph zero sinboloak infinitu kontagarria adierazten du, eta -k, multzoaren elementu kopurua.

Zenbaki arrazionalak:

emanik, -rentzat non eta .

zenbaki arrazionala, eta suposatzen da orokortasuna galdu gabe.

emanik, ondorengo segida eraikiko da: non .

, -rentzat.

Honela zenbaki , bitarte disjuntutan banatu dira, eta usategi printzipioa erabiliz, existitzen da bitarte bat, gutsienez bi zenbaki bere baitan dituena.

, eta non

, eta . Honela eta aukeratuz.

non eta .

Korolarioa (Dirichleten teorema)

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

eta

, hartuaz . Ondorioz .

Absurdura bideratuz suposa bedi, dela (finitua).

Zenbaki arrazionalen arkimedesen ezaugarriagatik: .

eta zenbakiei, aurreko Lema aplikatuz:

Ondorioz,

Eta bestalde

Absurdua denez ezinezkoa da finitua izatea

zenbaki arrunt eta ez karratua bada, Pell-en ekuazioak: , badu ebazpen ez neutro bat.

zenbaki arrunt eta ez karratua bada, ez da zenbaki arrazionala: .

zenbakiari aurreko korolarioa aplikatuz, , zeinetan:

.

  • Ondorengo emaitza frogatuko da hiru pausotan:

non .

Zeinetan multzoa den.

Bat: , forgatuko da, zeinetan . Ondorengo desberdintzak betetzen dituzte multzoko zatikiek: emanik: , eta desberdintza triangeluarra erabiliz:

.

Bi zenbakien biderketa eginez:

. Honela: . Eta emaitza frogatzen da: .

Bi zeinetan .

Ondorengo aplikazioa sortuko da: , zeinetan .

Erraz frogatzen da ondo definitutako aplikazioa dela, eta supraiektiboa dela.

supraiektiboa .

infinitua denez, ere infinitua da: .

Hiru: non .

Zeinetan multzoa den.

Multzoen arteko ondorengo berdintza betetzen da:

.

Absurdura bideratuz suposatzen bada.

. Multzo finituen batura finitua finitua izateagatik.

Honela, ondorioztatu da, zeinak , ukatzen duen: absurdua.

Existitzen da beraz multzoren bat infinitu elementu dituena.

  • Behin aukeratu dugularik ( ) eta , multzoan Pellen ekuazioa betetzen duen ebazpen ez neutro bat existitzen dela frogatuko da. Ondorengo atalak frogatuz:

Bat: Ondorengo emaitza frogatuko da:

: , .

, aplikazioa eraikiko da zeinetan , eraztuneko elementuak izanik.

Multzoa infinitua izateagatik eta , multzoa berriz finitua, irudi berdineko bi elementu desberdin existitzen direla ondoriozta daiteke ( zentzu zorrotzean infinitu ere exititu arren). , eta .

eta . non

, honela :

eta .

Bi: Ondorengo erlazioa frogatuko da: .

frogatuko da, lehenik. .

Eta modu berean argudiatzen da: .

Ondorioz:.

Hiru: frogatuko da.

.

.

Lau: eta frogatuko da.

Kenketa eginez:


.

.

Bost: Pellen ekuazioaren ebazpen bat existitzen dela frogatuko da.

non

.

Ondorioz Pell ekuazioaren ebazpen bat existitzen da: .

Sei: Ebazpena ez dela neutroa frogatuko da: .

Absurdura bideratuz, baldin bada: .

denez ondorengo zenbakiak sortuko dira:

.

Zenbaki hauen zatitzaile komunetako handiena:

.

Eta:

.

Zenbaki oso bat bere alderantzizkoaren berdina bada, zenbaki oso hori: 1 edo -1 da.

bada, bietako bat negatiboa da, eta aukeraketa multzotik egin da ezinezkoa.

, bada . Zeinak osagaien aukeraketa ukatzen duen, ezinezkoa.

Ondorioz: .