Edukira joan

Prozesu estokastiko

Wikipedia, Entziklopedia askea
Esfera baten gainazalean Wiener prozesu (Browniar mugimendu-prozesua ere deitua) baten ordenagailuz simulatutako gauzatzea. Wiener prozesua probabilitate-teorian gehien aztertutako eta zentraleko prozesu estokastikotzat hartzen da.

Probabilitate teorian eta erlazionatutako arloetan, prozesu estokastiko bat (/stəˈkæstɪk/) edo ausazko prozesu bat objektu matematiko bat da, normalean probabilitate espazio bateko ausazko aldagaien familia gisa definitzen dena, familiaren indizeak askotan denboraren interpretazioa duela.[1] Prozesu estokastikoak asko erabiltzen dira ausazko moduan aldatzen diren sistemen eta fenomenoen eredu matematiko gisa. Adibidez, bakterioen populazio baten hazkundea, zarata termikoaren ondorioz gorabeherak dituen korronte elektrikoa edo gas molekula baten mugimendua daude.[2][3][4] Prozesu estokastikoek diziplina askotan dituzte aplikazioak, hala nola biologian,[5] kimikan,[6] ekologian,[7] neurozientzian,[8] fisikan,[9][1] ekonomian,[1] irudien eta seinaleen prozesamenduan,[10] kontrolaren teorian,[11] informazio teorian,[12] informatikan,[13] eta telekomunikazioetan.[14] Gainera, finantza merkatuetan izandako itxuraz ausazko aldaketek bultzatu dute prozesu estokastikoen erabilera zabala.[15][16][17]

Aplikazioek eta benetako munduko fenomenoek behin eta berriz bultzatu dituzte matematikariak prozesu estokastiko berriak proposatzera. Bi adibide klasiko dira Wiener prozesua (Browniar mugimendu-prozesua ere deitua) eta Poisson prozesua. Louis Bachelierrek Wiener prozesua erabili zuen Parisko Burtsan prezioen aldaketak modelatzeko, eta A. K. Erlangek Poisson prozesua erabili zuen denbora-tarte jakin batean gertatzen diren telefono-deien kopurua modelatzeko.[18] Bi prozesu hauek prozesu estokastikoen teoriaren erdigunetzat hartzen dira,[19][3][20] eta behin eta berriz eta modu independentean asmatu ziren, bai Bachelier eta Erlangen aurretik bai ondoren, testuinguru eta herrialde desberdinetan.[21]

Ausazko funtzio terminoa prozesu estokastiko edo ausazko bat aipatzeko ere erabiltzen da,[22] prozesu estokastiko bat funtzio-espazio bateko ausazko elementu gisa ere interpreta daitekeelako.[23] Prozesu estokastiko eta ausazko prozesu terminoak elkarren artean trukagarriak dira, askotan ausazko aldagaiak indexatzen dituen multzoarentzako espazio matematiko espezifikorik gabe. Baina askotan bi termino hauek erabiltzen dira ausazko aldagaiak zenbaki osoen edo lerro errealaren tarte baten bidez indexatzen direnean. Ausazko aldagaiak koordenatu kartesiar baten edo dimentsio handiagoko espazio euklidear baten bidez indexatzen badira, orduan ausazko aldagaien bildumari ausazko eremu deitzen zaio normalean. Prozesu estokastiko baten balioak ez dira beti zenbakiak eta bektoreak, baizik eta beste objektu matematiko batzuk izan daitezke.[24]

Beren propietate matematikoetan oinarrituta, prozesu estokastikoak hainbat kategoriatan sailka daitezke, besteak beste, ausazko ibilaldiak,[25]martingalak,[26] Markov prozesuak,[27] Lévy prozesuak,[28] Gauss-en prozesuak,[29] ausazko eremuak,[30] berritze prozesuak eta adarkatze prozesuak.[31]Prozesu estokastikoen azterketak probabilitate, kalkulu, aljebra lineal, multzoen teoria eta topologiako ezagutza eta teknikak erabiltzen ditu,[32] baita analisi matematikoaren adarrak ere, hala nola analisi erreala, neurri teoria, Fourier analisia eta analisi funtzionala.[33] Prozesu estokastikoen teoria matematikarako ekarpen garrantzitsutzat jotzen da,[34] eta ikerketa gai aktiboa izaten jarraitzen du arrazoi teorikoengatik eta aplikazioengatik.[35]

Sarrera

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
0 ≤ t ≤ 2 denborarako hiru dimentsioko Wiener edo Browniar mugimendu-prozesu baten ordenagailuz simulatutako funtzio edo gauzatze bakarra, besteak beste. Prozesu estokastiko honen indize-multzoa zenbaki ez-negatiboak dira, eta bere egoera-espazioa hiru dimentsioko espazio euklidearra da.

Prozesu estokastiko edo ausazko bat multzo matematiko batek indexatzen dituen ausazko aldagaien bilduma gisa defini daiteke, hau da, prozesu estokastikoaren ausazko aldagai bakoitza multzoko elementu batekin modu bakarrean lotuta dagoela.[36] Ausazko aldagaiak indexatzeko erabiltzen den multzoari indize multzoa deritzo. Historikoki, indize multzoa lerro errealaren azpimultzo bat zen, hala nola zenbaki naturalak, indize multzoari denboraren interpretazioa emanez. Bildumako ausazko aldagai bakoitzak egoera-espazio izeneko espazio matematiko beretik hartzen ditu balioak. Egoera-espazio hau izan daiteke, adibidez, zenbaki osoak, lerro erreala edo n-dimentsioko espazio euklidearra.[37] Gehikuntza prozesu estokastiko batek bi indize-balioen artean aldatzen duen kopurua da, askotan denboran bi puntu gisa interpretatzen dena. Prozesu estokastiko batek emaitza asko izan ditzake, bere ausazkotasunagatik, eta prozesu estokastiko baten emaitza bakar bati, besteak beste, lagin-funtzio edo errealizazio deitzen zaio.[38]

Sailkapenak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Prozesu estokastiko bat modu ezberdinetan sailka daiteke, adibidez, bere egoera-espazioaren, indize-multzoaren edo ausazko aldagaien arteko menpekotasunaren arabera. Sailkapen-modu ohiko bat indize-multzoaren eta egoera-espazioaren kardinalitatearen arabera da.[39]

Denbora gisa interpretatzean, prozesu estokastiko baten indize-multzoak elementu kopuru finitua edo zenbagarria badu, hala nola zenbaki multzo finitua, zenbaki osoen multzoa edo zenbaki naturalak, orduan prozesu estokastikoa denbora diskretuan dagoela esaten da. Indize-multzoa lerro errealaren tarte bat bada, orduan denbora jarraitua dela esaten da. Bi prozesu estokastiko motak denbora diskretuko eta denbora jarraituko prozesu estokastiko gisa aipatzen dira, hurrenez hurren.[40] Denbora diskretuko prozesu estokastikoak errazago aztertzen dira, denbora jarraituko prozesuek teknika eta ezagutza matematiko aurreratuagoak behar baitituzte, batez ere indize-multzoa zenbaezina delako. Indize-multzoa zenbaki osoak edo horien azpimultzoren bat badira, orduan prozesu estokastikoari ausazko sekuentzia ere dei dakioke.[41]

Egoera-espazioa zenbaki osoak edo zenbaki naturalak badira, prozesu estokastikoari prozesu estokastiko diskretu edo balio osokoa deitzen zaio. Egoera-espazioa lerro erreala bada, prozesu estokastikoari balio errealeko prozesu estokastiko edo egoera-espazio jarraitua duen prozesu deitzen zaio. Egoera-espazioa n-dimentsioko espazio euklidearra bada, prozesu estokastikoari n-dimentsioko bektore-prozesu edo n-bektore-prozesu deitzen zaio.[42]

Erreferentziak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  1. 1 2 3 Ormaza Zulueta, Naia; Igartua Aldamiz, Josu Mirena. (2021). «Prozesu estokastikoak fisikan eta ekonomian: higidura browndarretik finantza-merkatuen ereduetara» Ekaia 39  doi:10.1387/ekaia.21883. ISSN 0214-9001. (kontsulta data: 2026-03-12).[Betiko hautsitako esteka]
  2. ↑ (Ingelesez) Joseph L. Doob. (1990). Stochastic processes. Wiley, 46, 47 or..
  3. 1 2 (Ingelesez) Emanuel Parzen. (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications, 7, 8 or. ISBN 978-0-486-79688-8..
  4. ↑ (Ingelesez) Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod. (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation, 1 or. ISBN 978-0-486-69387-3..
  5. ↑ (Ingelesez) Bressloff, Paul C.. (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer ISBN 978-3-319-08488-6..
  6. ↑ (Ingelesez) Van Kampen, N. G.. (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier ISBN 978-0-08-047536-3..
  7. ↑ (Ingelesez) Lande, Russell; Engen, Steinar; Sæther, Bernt-Erik. (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press ISBN 978-0-19-852525-7..
  8. ↑ (Ingelesez) Laing, Carlo; Lord, Gabriel J.. (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. Oxford University Press ISBN 978-0-19-923507-0..
  9. ↑ (Ingelesez) Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg. (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science+Business Media ISBN 978-3-319-00327-6..
  10. ↑ (Ingelesez) Dougherty, Edward R.. (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press ISBN 978-0-8194-2513-3..
  11. ↑ (Ingelesez) Bertsekas, Dimitri P.. (1996). Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case. Athena Scientific ISBN 1-886529-03-5..
  12. ↑ (Ingelesez) Thomas M. Cover; Joy A. Thomas. (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons, 71 or. ISBN 978-1-118-58577-1..
  13. ↑ (Ingelesez) Baron, Michael. (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists (2nd ed.). CRC Press, 131 or. ISBN 978-1-4987-6060-7..
  14. ↑ (Ingelesez) Baccelli, François; Blaszczyszyn, Bartlomiej. (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc ISBN 978-1-60198-264-3..
  15. ↑ (Ingelesez) Steele, J. Michael. (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science+Business Media ISBN 978-0-387-95016-7..
  16. ↑ (Ingelesez) Musiela, Marek; Rutkowski, Marek. (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science+Business Media ISBN 978-3-540-26653-2..
  17. ↑ (Ingelesez) Shreve, Steven E.. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science+Business Media ISBN 978-0-387-40101-0..
  18. ↑ (Ingelesez) Stirzaker, David. (2000). "Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary". The Mathematical Gazette. 84 (500), 197–210 or. ISBN doi:10.2307/3621649. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649. S2CID 125163415...
  19. ↑ (Ingelesez) Joseph L. Doob. (1990). Stochastic processes. Wiley, 46, 47 or..
  20. ↑ (Ingelesez) Donald L. Snyder; Michael I. Miller. (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media, 32 or. ISBN 978-1-4612-3166-0..
  21. ↑ (Ingelesez) Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L.. (2012). "What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes". . International Statistical Review. 80 (2), 253–268 or. ISBN doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734. S2CID 80836...
  22. ↑ (Ingelesez) Gusak, Dmytro; Kukush, Alexander; Kulik, Alexey; Mishura, Yuliya; Pilipenko, Andrey. (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media., 21 or. ISBN 978-0-387-87862-1..
  23. ↑ (Ingelesez) John Lamperti. (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag, 1- 2 or. ISBN 978-3-540-90275-1..
  24. ↑ (Ingelesez) Loïc Chaumont; Marc Yor. (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press, 175 or. ISBN 978-1-107-60655-5..
  25. ↑ (Ingelesez) Gregory F. Lawler; Vlada Limic. (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press ISBN 978-1-139-48876-1..
  26. ↑ (Ingelesez) David Williams (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press ISBN 978-0-521-40605-5..
  27. ↑ (Ingelesez) L. C. G. Rogers; David Williams. (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations.. Cambridge University Press ISBN 978-1-107-71749-7..
  28. ↑ (Ingelesez) David Applebaum (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83263-2.. (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press ISBN 978-0-521-83263-2..
  29. ↑ (Ingelesez) Mikhail Lifshits. (212). Lectures on Gaussian Processes. Springer Science & Business Media ISBN 978-3-642-24939-6..
  30. ↑ (Ingelesez) Robert J. Adler (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.. (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM ISBN 978-0-89871-693-1..
  31. ↑ (Ingelesez) Samuel Karlin; Howard E. Taylor. (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press ISBN 978-0-08-057041-9..
  32. ↑ (Ingelesez) D.J. Daley; David Vere-Jones. (2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer Science & Business Media ISBN 978-0-387-21337-8..
  33. ↑ (Ingelesez) Adam Bobrowski. (2005). Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction.. Cambridge University Press ISBN 978-0-521-83166-6..
  34. ↑ (Ingelesez) Applebaum, David. (2004). "Lévy processes: From probability to finance and quantum groups". Notices of the AMS. 51 (11), 1336–1347 or..
  35. ↑ (Ingelesez) Jochen Blath; Peter Imkeller; Sylvie Roelly. (2011). Surveys in Stochastic Processes.. European Mathematical Society ISBN ISBN 978-3-03719-072-2...
  36. ↑ (Ingelesez) Emanuel Parzen. (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications, 7, 8 or. ISBN 978-0-486-79688-8..
  37. ↑ (Ingelesez) Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod. (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation, 1 or. ISBN 978-0-486-69387-3..
  38. ↑ (Ingelesez) L. C. G. Rogers; David Williams. (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations.. Cambridge University Press, 121-124 or. ISBN 978-1-107-71749-7..
  39. ↑ (Ingelesez) Donald L. Snyder; Michael I. Miller. (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media, 24, 25 or. ISBN 978-1-4612-3166-0..
  40. ↑ (Ingelesez) Jeffrey S Rosenthal. (2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc, 177–178 or. ISBN 978-981-310-165-4..
  41. ↑ (Ingelesez) Davar Khoshnevisan. (2006). Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields.. Springer Science & Business Media, 153–155 or. ISBN 978-0-387-21631-7..
  42. ↑ (Ingelesez) Ionut Florescu. (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons, 294, 295 or. ISBN 978-1-118-59320-2..

Kanpo estekak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

(Ingelesez) Prozesu estokastikoen gaien zerrenda

Ikus gainera

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
"https://eu.wikipedia.org/w/index.php?title=Prozesu_estokastiko&oldid=11708222"(e)tik eskuratuta