Auzokidetasun-matrize

Auzokidetasun-matrizea Matrize karratu bat da, erlazio bitarrak adierazteko erabiltzen dena..

Auzokidetasun-matrizearen eraikuntza grafo batetik abiatuta

1. Zero matrize bat sortzen da, zeinen zutabeek eta errenkadek grafoaren erpinak adierazten dituzten.
2. Bi erpin lotzen duen ertz bakoitzeko, 1 gehitu behar diogu matrizeko dagokion kokagunean lehendik dagoen balioari.

   Ertza begizta bat bada eta grafoa ez zuzendua bada, orduan 2 gehitzen da 1-aren ordez.

Azkenik, matrize bat lortzen da, erpin (elementuak) bikoteen arteko ertzen (erlazioak) kopurua adierazten duena .

Grafo bakoitzeko auzokidetasun-matrize bakar bat existitzen da (errenkaden edo zutabeen permutazioak kontuan izan gabe), eta alderantziz.

Grafo ez zuzenduaren adibidea

1. irudia: Grafo ez zuzenduaren adibide bat, zeinetarako auzokidetasun-matrizea kalkulatzen den.

1. irudiko grafo ez zuzenduaren auzokidetasun-matrizea hau da:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Grafo zuzenduaren adibidea

2. irudia: Grafo zuzenduaren adibide bat, zeinetarako auzokidetasun-matrizea kalkulatzen den.

2. irudiko grafo zuzenduaren auzokidetasun-matrizea hau da:

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Auzokidetasun-matrizearen propietateak

• Grafo ez zuzenduaren kasuan auzokidetasun-matrizea simetrikoa da.
• C_i,j(k) bideen kopurua, i adabegitik j adabegitarako k hertz zeharkatuz, auzokidetasun-matrizearen k-garren berreturaren elementu batek ematen du:

$C_{i,j}(k) = [\mathbf{A}^k]_{ij}$

Ikus, gainera

• matrize laplaciarra