Interpolazio

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Epitrotxoid baten puntuetatik pasatzen den interpolatzailea. Puntuak gorriz ageri dira, puntuetatik pasatzen den spline interpolatzailea urdinez.

Matematikan, zenbakizko analisiaren eremuan, interpolazioa puntu multzo diskretu bat edukirik, puntu berriak aurkitzeko metodoen multzoa da.

Ingeniaritzan eta zientzian, ohikoa da esperimentazioaren bitartez lortutako puntu multzo bat izatea, Puntu hauek funtzio ezezagun bati dagozkion puntuak adieraz ditzakete eta askotan funtzio horren tarteko puntuak lortzea nahi izaten da.

Interpolazioarekin erlazionatutako beste problema bat, funtzio konplexu bat funtzio sinple baten bitartez hurbiltzea da. Suposa dezagun formula oso konplexu bat dugula era eraginkorrean ebaluatzeko, jatorrizko funtzioaren puntu batzuk erabili daitezke interpolazio sinple bat sortzeko. Funtzio sinple bat erabiltzen denean puntu berriak estimatzeko, interpolazio erroreak gertatu ohi dira; aldiz, problemaren domeinuaren eta interpolazio metodoaren arabera, sinplifikazioaren irabazia garrantzitsuagoa izan daiteke zehaztasun galera baino.

Adibidea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adibidez, supposa dezagun ezagutzen ez dugun f funtzioari buruzko honako datu-taula daukagula.

Taulako puntuei dagokien irudia.
x f(x)
0 0
1 0 . 8415
2 0 . 9093
3 0 . 1411
4 −0 . 7568
5 −0 . 9589
6 −0 . 2794

Interpolazioaren bidez tarteko puntuen balioaren hurbilketa edo estimazioa lor daiteke, esate baterako, x = 2.5 balioarentzat ez dugu f(x) balioa ezagutzen, baina funtzio interpolatzaileak balio hori lortzeko aukera emango digu.

Hainbat interpolazio metodo daude eta horietako batzuk azpian azaltzen dira, bakoitzarekin f(2.5) balio ezberdinak lortuko dira. Interpolazio metodoa aukeratzerakoan kontuan hartu beharrekoak honakoak izan daitezke: lortu nahi den zehaztasun maila, metodoaren konputazio kostua, lortutako funtzioaren leuntasuna (deribagarritasuna) edota metodoak eskatzen duen datu kopurua.

Interpolazio lineala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Interpolazio linealaren bidezko grafikoa

Interpolazio metodorik sinpleenetakoa da. Aurreko adibidean f(2.5) hurbiltzerakoan, 2.5 balioa x=2 eta x=3 nodoen artekoa denez, zentzuzkoa dirudi f(2.5) gisa f(2)= 0.9093 eta f(3)= 0.1411 balioen artekoa izatea, horrek 0.5252 baliora garamatza. Elkarren ondoko bi puntu lotzen dituen zuzena eraiki behar da interpolazioa egiteko.

Azkarra eta erraza da, baina ez oso zehatza. Horrez gain, metodo honen bitartez lortzen den funtzioa ez da deribagarria kalkulatutako edozein xk puntuan.

Orokorrean, ezagunak diren (xa, ya) eta (xb, yb) puntuak hartuta, haien arteko interpolazioa honela lortzen da:

 y = y_a + \left( y_b-y_a \right) \frac{x-x_a}{x_b-x_a} \text{ horrela, } \left( x,y \right) \text{ puntua lortuko da, }

Demagun g funtzioa interpolatu nahi dugula, suposatuz x balioa xa eta xb-ren artean dagoela eta g jarraitua eta bi aldiz deribagarria dela. Interpolazio-errorea honakoa izango da:

 |f(x)-g(x)| \le C(x_b-x_a)^2 \quad\text{non}\quad C = \frac18 \max_{y\in[x_a,x_b]} |g''(y)|.

Beste era batera esanda, errorea puntu ezagunen arteko distantziaren karratuarekiko proportzionala da.

Interpolazio polinomikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Interpolazio polinomikoaren bidezko kurbaren irudia

Interpolazio polinomiala, interpolazio linealaren orokortzea da. Interpolatzaile lineala funtzio lineala izanik, interpolatzailea maila altuagoko polinomio batengatik ordezkatzen da.

Goian azaldutako adibidearen jarraituz, hurrengo sei mailako polinomioa zazpi puntuetatik pasatzen da.

 f(x) = -0.0001521 x^6 - 0.003130 x^5 + 0.07321 x^4 - 0.3577 x^3 + 0.2255 x^2 + 0.9038 x.

x = 2.5 balioarentzat f(2.5) = 0.5965 hurbilketa lortuko du.

Orokorrean, n puntu izanda, gehienez n-1 maila duen polinomio bat existitzen da puntu guztietatik pasatzen dena. Interpolazio errorea puntuen arteko distantzien n. potentziarekiko proportzionala da. Gainera, interpolatzailea polinomio bat denez, infinituki diferentziagarria da. Ondorioz, ikus daiteke interpolazio polinomikoak interpolazio linealaren arazo gehienak gainditzen dituela.

Dena den, interpolazio polinomikoak bere desabantailak ere baditu. Interpolatzaile polinomikoa kalkulatzea konputazionalki garestia da interpolazio linealarekin konparatuta. Are gehiago, interpolatzaile polinomikoak oszilazio arazoak azal ditzake, batez ere muturretan. Lortutako kurbaren forma espero dugunaren aurkakoa izan daiteke, adibidez puntuak sortu dituen esperimentuaz dakigunaren aurkakoa, bereziki aldagai askearen balio oso altu edo baxuetarako. Desabantaila hauek spline interpolazioa edo Chebyshev-en polinomioak erabiliz txikitu daitezke.

Spline bidezko interpolazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Spline bidezko kurbaren grafikoa

Interpolazio linearrak [xk, xk+1] tarte bakoitzeko funtzio linearra erabiltzen du. Spline bidezko interpolazioak gradu baxuko polinomioak ditu tarte bakoitzean eta tarte bakoitza modu leun batean elkartzea ahalbidetzen du.

Tarte bakoitzari dagokion funtzioa hirugarren mailakoa da, eta, era berean, bi aldiz deribagarria era jarraian. Gainera, bigarren deribatua muturretan zero da. Funtzio honek aurreko taulako puntuak interpolatzen ditu:

 f(x) = \begin{cases}
-0.1522 x^3 + 0.9937 x, & \text{if } x \in [0,1], \\
-0.01258 x^3 - 0.4189 x^2 + 1.4126 x - 0.1396, & \text{if } x \in [1,2], \\
0.1403 x^3 - 1.3359 x^2 + 3.2467 x - 1.3623, & \text{if } x \in [2,3], \\
0.1579 x^3 - 1.4945 x^2 + 3.7225 x - 1.8381, & \text{if } x \in [3,4], \\
0.05375 x^3 -0.2450 x^2 - 1.2756 x + 4.8259, & \text{if } x \in [4,5], \\
-0.1871 x^3 + 3.3673 x^2 - 19.3370 x + 34.9282, & \text{if } x \in [5,6].
\end{cases}

Kasu honetan, f(2.5)=0.5972 lortu dugu. Interpolazio polinomikoa bezala, linealak baino errore txikiagoa hartzen du eta interpolazioa leunagoa da. Hala ere, polinomikoan baino errazagoa da interpolazioa ebaluatzea.


Matematika Artikulu hau matematikari buruzko zirriborroa da. Wikipedia lagun dezakezu edukia osatuz.


Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Interpolazio Aldatu lotura Wikidatan