Funtzio (matematika)

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Funtzio orokor honetan, X domeinuko elementuek Y helburuko multzoan balioak hartzen dituzte. Irudia Y multzoko {a,b} elementuek osatzen dute.

Matematikan, funtzio bat bi multzoren elementuen arteko erlazioa da. f funtzio batek X multzo bateko x elementuak Y multzoko y elementuekin erlazionatzen ditu, eta hurrengo eran idazten da:

f: X \longrightarrow Y,\quad x \longmapsto y=f(x).

X multzoari izate- edo definizio-eremu deritzo, eta Y multzoari helburuko multzoa edo funtzioaren barrutia. Orokorrean, domeinuko elementuak aldagai askea deitzen dira eta helburukoak mendeko aldagaia. Domeinuko elementu bakoitzak irudi bakarra dauka helburuko multzoan.

Izate-eremua eta irudia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzioa definitua dagoen elementuen multzoari definizio- edo izate-eremua deitzen zaio. Funtzioaren bidez, multzo honetako elementuak beste multzo bateko elementuekin erlazionatzen dira, helburuko multzoa deitua. Helburuko multzoko elementuek, ordea, ez daukate zertan jatorrizko multzoko elementuen irudi izan; helburuko elementu hauen artean, batzuk izate-eremuko elementu bakar baten irudia izango dira, besteak hainbat elementurena, eta beste batzuk inorena. Izate-eremuko elementuen irudia diren helburuko multzoko elementuek osatzen duten multzoari irudi deritzo (Im(f)), eta helburuko multzoaren azpimultzo bat da:

Im(f)=\{y \in Y / \exists x \in X , f(x)=y \} .

Izate-eremu ohikoenen artean zenbaki arrunt eta zenbaki errealen multzoa daude.

Funtzio bat ondo definitua egon dadin, izate-eremuko elementu guztiek helburuko elementuekin lotura eduki behar dute. Adibidez, f(x) = 1/x funtzioaren izate-eremua ezin daiteke zenbaki errealen multzoa izan, x=0-rentzat ez baitago definitua. Multzotik zero zenbakia kenduz, hots izate-eremua ℝ - {0} izanez, funtzioa ondo definitua gelditzen da.

Injektibotasuna eta supraiektibotasuna[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Domeinuko eta funtzioaren barrutiko elementuen arteko erlazioaren arabera, funtzioak hainbat motatan sailka daitezke.

Funtzio injektiboa
  • Irudiko elementu bakoitzari domeinuko elementu bakarra dagokionean, funtzioa injektiboa da. Baliokideak diren hurrengo eratan idatz daiteke:
\forall x_1,x_2\in X \left[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\right]
\forall x_1,x_2\in X \left[ x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\right].
Domeinuko bi elementu hartuta, beraien irudiak ezberdinak izango dira, beraz. Bi funtzio injektiboren konposaketak funtzio injektiboa ematen du; g o f funtzio konposatua injektiboa bada, f funtzioa injektiboa izango da.
Funtzio supraiektiboa
  • Helmugako multzoko elementu oro domeinuko elementuren baten irudi bada, funtzioa supraiektiboa da,
 \forall y \in Y , \exists x \in X / f (x) = y .
Kasu honetan, helmugako multzoa eta irudia multzo bera dira, f(X) = Y. Bi funtzio supraiektiboren konposaketak funtzio supraiektibo bat ematen du; g o f funtzio konposatua supraiektiboa bada, g funtzioa supraiektiboa izango da beharrez. Edozein erako funtzio bat f: X → Y supraiektibo bihurtzeko, nahikoa da helmugako multzotik irudi ez diren elementuak kentzea, hau da, f: X → Y' funtzioa hautatzea, non Y' = f(X).
Funtzio bijektiboa
  • Funtzioa injektiboa eta supraiektiboa bada, bijektiboa izango da, eta irudiko elementu bakoitza domeinuko elementu bakar baten irudi izango da,
\forall y\in Y , \exists !\ x\in X / f(x) = y.
Bi funtzio bijektiboren konposaketak funtzio bijektiboa ematen du; g o f funtzio konposatua bijektiboa bada, f funtzioa injektiboa eta g supraiektiboa izango dira beharrez.

f(x) = x² funtzioan, domeinu bezala ℝ zenbaki errealen multzoa hartuz, eta helburuko multzoa multzo bera, funtzioa ez da injektiboa, f(x) = f(-x) delako, ezta supraiektiboa ere, ez baita sekula negatiboa. Funtzio bera, baina helburuko multzotzat ℝ+ = {x ∈ ℝ / x ≥ 0} hartuz, hau da, zenbaki erreal positiboak, supraiektibo bilakatzen da, helburuko multzo honen elementu oro gutxienez domeinuko elementu baten irudi baita. Domeinua ere ℝ+ hautatuz, funtzioa bijektibo bihurtzen da.

Funtzioen aljebra[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzioen konposaketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzioen konposaketan, funtzio baten irudia erabiltzen da bestearen aldagai aske bezala. f: X → Y eta g: Y' → Z bi funtzio izanik, f-ren irudia g-ren domeinuan dagoela suposatuz, hots Y ⊆ Y', g o f: X → Z funtzio konposatua definitzen da:

g\circ f: X \rightarrow Z,\quad x \mapsto (g\circ f)(x) = g(f(x)).

Idazkeraren ordena garrantzitsua da; kasu honetan, x aldagaiari f funtzioa ezartzen zaio, eta ondoren, emaitzari g funtzioa. Orokorrean, lege trukakorra ez da betetzen, hau da, g o f = f o g ez da egia izango; funtzio berezi batzuek bakarrik betetzen dute legea. Aldiz, lege asoziatiboa funtzio guztiek betetzen dute:

h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f .

Alderantzizko funtzioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

f: X → Y funtzio bijektiboa bada, y bakoitza f(x) = y betetzen duen x bakarrarekin lotzen duen funtzioa alderantzizko funtzioa deitzen da, eta f -1: Y → X bezala idazten da. Alderantzizko funtzioa bakarra da, eta existitu dadin beharrezko eta nahiko baldintza funtzioa bijektiboa izatea da.

Identitate funtzioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Identitate funtzioak multzo bateko elementu bakoitza elementu berean bilakatzen du:

i_A: A \rightarrow A,\quad a \mapsto i_A(a) = a

Idazkerari dagokionez, multzo bakoitzak bere identitate funtzioa dauka, eta horregatik erabiltzen da azpiindizea. Konposaketan, identitate funtzioa elementu neutroa da:

f \circ i_X = f
i_Y \circ f = f

non X eta Y f funtzioaren domeinua eta helmugako multzoa diren, hurrenez hurren. Gainera, f: X → Y funtzioa bijektiboa baldin bada, hurrengoa betetzen da:

f^{-1} \circ f = i_X \quad ;\quad f \circ f^{-1} = i_Y

Funtzio errealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

f: X → Y funtzioa erreala dela esaten da Y multzoa zenbaki errealen multzoaren barnean baldin badago. Domeinua multzo horren barruan baldin badago, funtzioa aldagai errealekoa dela esaten da. Funtzio hauen garrantzia ezaguna da, hainbat arlotan duten aplikazioengatik eta betetzen duten propietate abarrengatik.

f: X → ℝ erako funtzioen multzoari ℱ(X,ℝ) deituz, batuketa, produktua eta zenbaki batengatik biderketa defini daitezke:

(f+g)(x) = f(x)+g(x)\,
(f \cdot g)(x) = f(x)g(x)
(\lambda f)(x) = \lambda f(x), \qquad \forall x \in X, \forall \lambda \in \mathbb{R}

Eragiketa hauekin, ℱ(X,ℝ) espazio bektoriala da batuketa eta zenbaki batengatik produktuarekiko, eta eraztuna batuketa eta produktuarekiko. Zenbaki errealen multzoaz gain, beste edozein eraztunetan eragiketa berberak defini daitezke.

Aldagai errealeko funtzio errealetan hainbat ezaugarri definitzen dira, besteen artean:

Funtzio bornatua 
Funtzio baten irudia bornatua dagoenean funtzioa bera bornatua dagoela esaten da. Adibidez, f(x) = sin(x) funtzioaren irudia [-1,1] tartea da. Irudia goitik edo behetik bornatua baldin badago funtzioa goitik edo behetik bornatua dagoela esaten da; f(x) = |x| funtzioan, irudia [0,\infty[ tarteak osatzen du, behetik bornatua dagoelarik. Matematikoki, f: X → ℝ, X ⊆ ℝ funtzioa bornatua egotea edo ez hurrengo eran adieraz daiteke:
Funtzio bornatua: \exists K \in \mathbb{R} \quad /\quad |f(x)| < K \quad \forall x \in X
Funtzio ez bornatua: \forall K \in \mathbb{R},\quad \exists x \in X \quad /\quad |f(x)| \geq K
Funtzio monotonoa 
Funtzio monotono bat ordena gordetzen duen funtzioa da. Funtzio monotono gorakorrean, x < y emanik, f(x) ≤ f(y) betetzen da; monotono beherakorrean, ordena aldatzen da eta x < y denean f(x) ≥ f(y) da. eta ikurrak < eta >-gatik aldatuz, gorakortasuna eta beherakortasuna zentzu zorrotzean dira. Funtzio bat zentzu zorrotzean monotonoa denean, injektiboa da.
sin(x) funtzioa (gorriz) bakoitia da, eta cos(x) funtzioa (berdez) bikoitia. Biak periodikoak dira, periodoaz
Funtzio bakoiti eta bikoitiak 
Funtzio bat bikoitia baldin bada, f(x) = f(-x) betetzen da, x guztientzako. Geometrikoki, funtzio bikoiti bat y ardatzarekiko simetrikoa da.
Funtzio bakoitian, f(x) = -f(-x) betetzen da, x guztientzako. Geometrikoki, funtzio bakoitia jatorriarekiko simetrikoa da.
Aldi berean bakoitia eta bikoitia den funtzio bakarra beti zero den funtzio konstantea da, f(x) = 0. Potentzia funtziotan, xn erakoak alegia, n bakoitia baldin bada funtzioa bakoitia izango da; era berean, n bikoitia izan ezkero funtzioa bikoitia izango da. Beste propietate batzuen artean, funtzio bakoiti baten deribatua (existitu ezkero) bikoitia izango da eta funtzio bikoiti batena bakoitia.
Funtzio periodikoa 
Funtzio periodiko baten, balioak periodo bakoitzaren ostean errepikatu egiten dira: f(x) = f(x + P), non P > 0 periodoa den. Orokorrean, periodo bezala berdintza betetzen duen baliorik txikiena hartzen da. Funtzioa P-periodikoa baldin bada, nP-periodikoa ere izango da, zenbaki arrunt diren n guztiek ere berdintza betetzen baitute, f(x + nP) = f(x)

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Funtzio (matematika) Aldatu lotura Wikidatan


Funtzio analitikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio ez analitikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aljebran[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lotutako kontzeptuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]