Borelen transformazioaren forma integrala
Laplaceren transformazioaren kasu partikularra da, non
funtzio oso bat den
esponentzial itxurakoa; hau da,
eta
konstante batzuentzat. Borelen transformazio orokortuak onartzen du esponentziala ez den beste pisu funtzio bat erabiltzea, transformatu ahal izateko esponentzial itxurakoak ez diren funtzioak.
Nachbinen teoremak ematen dizkugu beharrezkoak eta nahikoak diren baldintzak Borelen transformazioa ondo definituta egon dadin.
Aurreko kasuetan ikusi dugun moduan, oinarrizko Laplacen transformazio bat aldebiko transformazio baten moduan idatz daiteke. Gainera, aldebiko transformazio bat aldebakarreko bi transformazioen batuketaz idatzi daiteke. Hori dela eta, azken finean Laplace-, Fourier-, Mellin- eta Z-transformazioak gauza berdineko kasu partikularrak dira. Hala ere, problema eta propietate ezberdinak ematen dizkigute lau oinarrizko integral transformazio hauek.
Laplacen transformazioa askotan erabilgarria da ingenieritzan eta fisikan.
Esate baterako, Laplacen transformazioak bihurtu dezake ekuazio diferentzial lineal bat ekuazio aljebraiko batean. Honek ekuazioa ebazteko prozesua asko azkartu dezake.
Zirkuitu elektrikoen teorian, kondentsadore baten korronte-fluxua zuzenki proportzionala da kapazitatearekiko eta potentzial elektrikoaren aldakuntzarekiko (SI unitatetan). Hauxe adieraz daiteke honako ekuazio diferentzialaren bitartez:
non
kondentsadorearen kapazitatea den (
farad unitatetan),
kondentsadoretik doan korronte elektrikoa (
ampere unitatetan) denborarekiko funtzio bezala adierazita, eta
kondentsadoreko plaken arteko potentzial diferentzia (
volt unitatetan) neurtzen duen denborarekiko funtzioa.
Aurreko ekuazioan Laplacen transformazioa aplikatuz
lortzen dugu, non
bakantzen badugu,
Inpedantzia konplexua
funtzioaren bidez adieraziko dugu. Hain zuzen ere, inpedantzia konplexuaren definizioa (
ohm unitatetan) potentzial diferentzia eta korronte elktrikoaren arteko zatiketa da; hau da,
Inpedantzia konplexuaren definizioan
aurreko ekuaziotik ordezkatuz,
Azken ekuazio honek guztiz erabilgarria da kondentsadore baten inpedantzia konplexua kalkulatzeko.
Kontsidera dezagun denborarekiko independentea den sistema honako tranferentzia funtzioarekin,
Pultsu-erantzuna aurreko tranferentzia funtzioaren Laplacen transformazioaren alderantzizko funtzioa da:
Funtzio honen adierazpena aurkitzeko; lehenik eta behin
funtzioa berridatziko dugu
frakzio sinpletako deskonposaketa eginez
eta
konstante ezezagunak transformazio funtzioko hondarrak dira. Cauchyren hondarraren teoremak esaten du Laplace transformazioaren alderantzizkoa soilik dagoela poloen eta haien hondarren menpe.
hondarra aurkitzeko, biderkatu dezagun berdintza
gatik,
Egiten badugu
aldagai aldaketa, hauxe lortzen dugu:
Antzeko modu batean aurkitzen dugu
hondarra:
Ohartu honako berditza betetzen dela:
eta beraz,
eta
ordezkatzen baditugu
funtzioan, honako hau daukagu
Azkenik, linealtasunaren propietatea erabiliz eta esponentzial negatiboaren transformazioa aplikatuz, lortzen dugu funtzioaren alderantzizko Laplaceren transformazioa
Lortu dugun funtzioa, lehen esan dugun bezala, sistemaren pultsu-erantzuna da.