Lankide:Maria Espinazo/Proba orria

Gibbs-en paradoxa 1874‒1875 urteetan Josiah Willard Gibbs fisikariak proposatutako esperimentu mentalaren ondorio zuzena da. Paradoxa honek sistema itxien entropia txikitzea onartzen du, termodinamikaren bigarren legea ezeztatuz. Mekanika estatistikoan, partikulen bereizezintasuna aintzat hartzen ez duen entropiaren deribazio erdi-klasikoak, entropiaren adierazpen ez-estentsiboa (substantzia jakinaren proportzionala ez dena) ematen du. Erlazionatutako paradoxa bat "nahasketen paradoxa" da. Partikulen trukaketa kontuta hartzen bada entropiaren definizioan, orduan paradoxa saihesten da.

Problemaren azalpen laburra

Hurrengo problema Gibbs-ek berak kontsideratu egin zuen, gas idealen entropia ez-estentsiboa deneko kasuan. Kontsideratu gas ideala barnean duen erditik banandutako ontzia. Bi azpiontzi izango ditu sistemak, bata lehenengoa eta bestea bigarrena. 1. ontzian dagoen gasa 2. ontzian dagoen gasaren berdin-berdina da ezaugarri eta magnitude guztietan (bolumena, masa, tenperatura, presioa...). Ontzi bakoitzak S entropia du, ontziaren bolumenaren araberakoa. Ontziko horma batean ate bat irekitzean gas partikulak nahasi egiten dira, aldaketa makroskopikorik eragin gabe (sistema orekan baitago). Bi-ontziko sistemaren gasaren entropia erraz kalkulatu daiteke, baina ekuazioa estentsiboa ez bada, entropia ez da 2S izango. Atea itxiz, entropiaren balioa berriz 2S izango da, printzipioz, termodinamikaren bigarren legea ezeztatuz.

Gibbs-en arabera, eta duela gutxi berriz azpimarratu denez, Gibbs-en entropia ez-estentsiboaren erabilera ez egoki baten ondorioa da aurrean azaldutakoa. Gas partikulak bereizgarriak badira, atea ixtean sistema ez da hasierako egoerara bueltatuko, partikula asko ontziz aldatuko baitira. Akats bat izango litzateke horrelako egoeran entropia handitu ez dela esatea. Gibbs-en gas idealen entropia ez-estentsiboa ezin da aplikatu partikula zenbakia aldakorra den sistemetan.

Paradoxa saihesten da partikulek bolumenean duten bereizezintasuna (gutxienez, bereizgarritasun eza eraginkorra) ondorioztatuz. Honen ondorio zuzena entropiarako Sackur-Tetrode ekuazio estentsiboa da, aurrera ikusiko den moduan.

Gas ideal baten entropia kalkulatzen eta adierazpena estentsiboa bihurtzen

Mekanika klasikoan, U energiako, V bolumeneko eta N partikulako (partikula bakoitzak m masa izanik) gas ideal baten egoera zehazteko, partikula bakoitzaren p momentu bektorea eta x posizio bektorea ezagutu behar dira. Aurrekoa modu honetan uler daiteke: 6N dimentsioko fase espazioan puntu bat zehaztu, non ardatz bakoitza partikula baten momentuaren edo posizioaren koordenatu bat den. Gasak okupatu dezakeen fase espazioko puntu multzoa gasak izan ditzakeen energia murriztuen araberakoa izango da:

$U={1 \over 2m}{\sum _{i=1}^{N}}{(p_{ix}^{2}+p_{iy}^{2}+p_{iz}^{2})}$

eta V bolumenaren barruan egonda (onartu V, X aldeko kuboa dela; V=X³):

$0{\leq }x_{ij}{\leq }X$ non $i=1...N$ eta $j=1,2,3$

Lehen murrizketak (2mU)^1/2 erradioko 3N dimentsioko hiperesferaren gainazala definitzen du, eta bigarrenak V^N bolumeneko 3N dimentsioko hiperkuboa. Biak konbinatuz 6N dimentsioko hiperzilindroa eratzen da. Zilindro arrunt baten hormaren azalera oinarriaren zirkunferentzia bider altuera den moduan, hiperzilindroaren hormaren azalera honako hau da:

$\phi (U,V,N)=V^{N}{\Biggl (}{2\pi ^{3N \over 2}(2mU)^{3N-1 \over 2} \over \Gamma (3N/2)}{\Biggr )}$ (1)

non $\Gamma$ gamma funtzioa den.

Murrizketak betetzen dituen bitartean gasa soilik egoera jakin batzuetan egon daiteke, eta entropia egoera kopuru horien zenbakiaren logaritmoaren proportzionala da. Fisika klasikoaren arabera gasak izan ditzakeen egoera kopurua infinitua da, baina fisika kuantikoaren arabera zenbaki hori finitua da. Mekanika kuantikoaren etorreraren aurretik infinitu hori regularizatu egiten zen fase-espazioa diskretua eginez. Fase-espazioa $h^{3N}$ bolumeneko blokeetan zatitzen zen. h konstantea jarduera matematikoaren ondorioa izan zen eta hasiera batean inolako esangura fisikorik ez zeukala pentsatu zen. Hala ere, mekanika kuantikoa erabiltzean formalismo berbera berreskuratzen da limite erdi-klasikoan, baina orain h Planck-en konstantea izanik. Hau ikusi daiteke era kualitatiboan ere. Heisenberg-en ziurgabetasunaren printzipioaren ikuspuntutik: N fase-espazioko bolumena $h^{3N}$ baino txikiagoa bada (non h Planck-en konstantea den) ezin daiteke zehaztu.

Egoera kopurua kalkulatzeko, sistema fase-espazioko zein bolumenean aurkitu daitekeen ezagutu behar da eta $h^{3N}$-rekin zatitu. Honek beste problema bat planteatzen du: sistema aurki daitekeen fase-espazioko eskualdea 0 lodierako azalera batera hurbiltzen den heinean, bolumenak zerora jotzen du. Arazo hau U energia zehaztasun infinituz doitu izanaren ondorioa da. Simetriarik gabeko sistema generiko batean, tratamendu kuantiko osoak endekatu gabeko autoegoera energia multzo diskretu bat emango luke. Beraz, energia zehaztearekin sistemaren egoera finkatuta geratzen da, sistemak eskuragarri dituen egoera kopurua bat izanik, eta ondorioz entropia nulua lortuz.

U barne energia finkatzeak gasaren energia osoa nonbait $\delta U$ eta $U$ artean egongo dela esan nahi du. N handietarako entropia ez da $\delta U$-ren aukeraketaren menpekoa. Honek esan nahi du aurrean aipatutako $\phi$ azalera $\delta p=\delta ({\sqrt {2mU}})={\sqrt {m \over {2U}}}\delta U$ (momentuaren ziurgabetasuna) lodierako gainazal batera hedatu behar dela, non entropia

$S=k\ln(\phi \delta p/h^{3N})$

den, eta k Boltzmann-en konstantea. Gamma funtziorako Stirling-en hurbilketa erabiliz (N baino orden txikiagoko gaiak ez ditu kontuan hartzen), N handietarako entropiaren adierazpena honako hau da:

$S=kNln\left[V\left(\displaystyle {\frac {U}{N}}\right)^{3/2}\right]+\displaystyle {\frac {3}{2}}kN\left(1+ln\displaystyle {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right)$

Aurreko kantitatea ez-estentsiboa da, partikula kopuru berdineko eta energia berdineko bi bolumen berdin kontsideratuz ikusi daitekeen moduan. Demagun bi bolumenak barrera baten bitartez bananduta daudela hasiera batean. Horma jartzea edo ipintzea prozesu itzulgarria da, baina horma kentzean entropia honela handitzen da:

$\delta S=k[2Nln(2V)-Nln(V)-Nln(V)]=2kNln2>0$

Termodinamikarekin kontraesana eratuko duena barrera berriz jartzean. Hauxe da Gibbs-en paradoxa. Paradoxa hau konpondu daiteke hurrengo postulatuaren bitartez: gas partikulak bereiztezinak dira. Honek esan nahi du partikulen permutazioz soilik bereizten diren egoerak egoera berdintzat hartu behar direla. Adibidez, 2 partikuleko gas bat izanda, AB gasaren egoera bat izanik non lehen partikulak (A) p₁ momentua eta bigarren partikulak (B) p₂ momentua duten, eta BA egoera non bigarren partikulak (B) p₁ momentua eta lehen partikulak (A) p₂ momentua duten, egoera berdinak dira.

N partikulako gas baterako, N! egoera berdin daude zentzu horretan, onartu egiten bada partikula bakoitza partikula bakarreko egoera ezberdinean dagoela. Hurbilketa hau egokia da kontuan izanik gasak ez duela dentsitate handia. Baldintza normaletan, gasak fase-espazioan okupatzen duen bolumena kalkulatu daiteke (1) ekuazioa N!-rekin zatituz. Stirling-en hurbilketa erabiliz N handietarako, ln(N!) ≈ N ln(N) - N, N handietarako entropia honako hau da:

$S=kN\ln \left[\left(\displaystyle {\frac {V}{N}}\right)\left(\displaystyle {\frac {U}{N}}\right)^{3/2}\right]+kN\left(\displaystyle {\frac {5}{2}}+\displaystyle {\frac {3}{2}}\ln \displaystyle {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right)$

Erraz frogatu daiteke aurreko adierazpena estentsiboa dela. Hori da Sackur-Tetrode ekuazioa.

Nahasketen paradoxa

Gibbs-en paradoxarekin erlazionatutako paradoxa bat nahasketaren paradoxa dugu. Egia esan, Gibbs-en paradoxa azken honen kasu partikularra baino ez da. Nahasketen paradoxa bi gasen arteko ezberdintasun arbitrarioak hartzen ditu kontuan, eta ez soilik ezberdintasunak partikulen ordenarekin, Gibbs-en paradoxan bezala. Gibbs-ek emandako argudioaren orokorpen bat bezala uler daiteke. Berriz ere, erditik bananduta dagoen ontzi bat kontsideratu da, non A gasa alde batean dagoen eta B gasa bestean. A eta B tenperatura eta presio berberetan daude. A eta B gas ezberdinak badira entropia handitu egingo da gasak nahastean. Gasak berdinak badira, ez da entropia gehigarririk kalkulatuko. Nahasketa egiterakoan neurtzen den entropia gehigarria ez da gasen izaeraren menpekoa, gasak ezberdinak izatearen menpekoa baizik. Bi gasak arbitrarioki antzekoak izan daitezke, baina nahasketaren entropia gehigarria ez da desagertzen bi gasak berdinak izan arte. Ezjarraitasun paradoxikoa."Paradoxa" hau azaldu daiteke entropiaren definizioa kontuz aztertuz gero. Konkretuki Edwin Thompson Jaynes-ek azaldutako moduan, entropiaren definizioak arbitrarioak dira.

Adibide bezala, Jaynes-en artikuluan ikusi daitekeenez, posiblea da teoria bat garatzea non bi gas antzeko moduan hartzen diren nahiz eta ezaugarri nahikoren bitartez ezberdindu daitezkeen. Neurketa zehatz hauek egiten ez diren bitartean, teoriak ez du izango barne bateraezintasunik. Teoriak A eta B gasak berdinak direla kontsideratzen badu, entropia ez da aldatuko nahasketa egiterako momentuan. Teoriak A eta B gas ezberdinak direla onartzen badu, entropia gehigarria kalkulatuko da nahasketa egitean. Honek ikusarazten du "egoera termodinamikoa" eta "entropia" ideiak nolabait subjektiboak izan daitezkeela.

Gas ezberdinak nahastearen ondoriozko entropia hazkuntza diferentziala (dS), tenperaturarekin (T) biderkatuz, gasak hasierako egoera banandura bueltatzeko egin beharreko lan minimoa da. Demagun bi gasak ezberdinak direla baina ez garela gai ezberdintasunak atzemateko. Gas hauek ontzi batean bananduta badaude, zenbat lan egin behar da gasak hasierako egoera banandura bueltatzeko nahastu eta gero? Inolako lana-soilik da beharrezkoa barrera berriz jartzea. Gasak nahasi diren arren, inoiz ez da eman aldaketa neurgarririk sisteman, hipotesiagaitik gasak esperimentalki bereizezinak direlako. Gasen arteko ezberdintasunak atzematen diren bezain laster, egin beharreko lana hasierako egoera banandura gasak eramateko ez-nulua bihurtzen da. Lana ez da gasen ezberdintasun graduaren menpekoa, soilik bereizgarritasunaren menpekoa.

Arrazoiketa lerro hau bereziki informatiboa da partikula bereizigabeen eta Boltzmannen zenbaketa zuzenaren kontzeptuak kontuan hartzen direnean. Boltzmannen gas batean eskuragarri dauden egoera kopuruari dagokion jatorrizko adierazpenak estatu bat hainbat energia "azpimailatan" adieraz zitekeela adierazi zuen, hauetako bakoitzak partikula kopuru jakin bat jasotzen duelarik. Azpimaila jakin bateko partikulak bereiztezintzat jotzen ziren bitartean, azpimaila desberdinetako partikulak beste edozein azpimailetako partikulengandik bereizgarritzat hartzen ziren. Honek bi partikula bi azpimaila ezberdinetan trukatzean gasaren "makroegoera-truke" ezberdin batean gertatuko dela esan nahi du. Adibidez, N partikula dituen gas sinple bat kontsideratzen bada, dentsitate nahiko baxuarekin azpimaila bakoitzak partikula bat edo bat ere ez izatea ia ziurra izateko modukoa (hau da, Maxwell – Boltzmann gas bat), horrek esan nahi du gas multzo sinple bat N! "makroegoera-truke" ezberdinetatik batean egongo dela. Partikula truke posible bakoitzeko, batean egongo da.

Nahasketa paradoxa bi multzo desberdinekin hasten da, eta nahasketaren ondorioz sortzen den entropia gehigarria hasierako egoera hori nahasteko behar den batez besteko lanarekiko proportzionala da, modu honetan Boltzmannen jatorrizko deribazioan dagoen entropia ere proportzionala da gas sinpleak "makroegoera-truke" jakin batetik bere jatorrizko "makroegoera-truke"-ra leheneratzeko behar den batez besteko lanarekiko. "Makroegoera-truke" hauetan esperimentalki ez dagoela desberdintasunik onartzen bada, orduan partikulak bereiztezinak direla suposatzearen ondorio den entropia erabiliz gero, teoria koherentea izango da. Honi "Boltzmann zenbaketa zuzena" deritzo.

Gibbsen paradoxari buruzko ebazpena teoria kuantikoaren arabera partikulak printzipioz bereiztezinak direla esaten ohi da. Jaynesen arrazoiketaren arabera, edozein arrazoirengatik partikulak esperimentalki bereiztezinak badira, Gibbsen paradoxa ebazten da.

Bi gas idealen entropia ez-estentsiboa eta nola konpondu

Atal honetan, Gibbsek kontsideratutako gas ideal baten entropia ez-estentsiboaren deribazio klasiko huts bat aurkezten da, "Zenbaketa zuzena" (partikulen bereiztezintasuna) kontuan hartu aurretik. Jarraian, entropia estentsiboa egiteko bi metodo estandarren eztabaida labur bat dator, eta azkenik, hirugarren metodo bat aurkezten da, R. Swendseni dagokiona, partikulak elkar truka daitezkeen bi sistemaren entropiaren emaitza zabal baterako.

Antolaketa

Kalkuluaren bertsio sinplifikatu bat aurkeztuko da. Kalkulu osotik hiru eratara bereizten da:

1. Gas ideala dimentsio espazial bakarrera mugatutako partikulek osatzen dute.
2. ${\displaystyle n\log(n)}$ ordenako terminoak baino ez dira kontutan hartuko, n ordeneko edo orden txikiagoko terminoak baztertuz, non n partikula kopurua den. Helburua lortzeko hori nahikoa da, hemen agertzen baita Gibbsen paradoxa eta non konpondu behar den. Baztertutako terminoek rol bat jokatzen dute partikula kopurua oso handia ez denean, hala nola, informatika simulazioan eta nanoteknologian. Sackur - Tetrode ekuazioa lortzeko ere beharrezkoak dira.
3. Plancken konstantearen unitateean zatituriko fase espazioa baztertu egiten da eta horren ordez, fase espazioaren zati “eskuragarria”-ren gaineko integrala erabiliz entropia definitzen da.

Boltzmannen entropiaren bertsio bat erabiliz (zeinetan integrazioa espazio eskuragarria den):

${\displaystyle S=k\ln \Omega =k\oint \limits _{H({\vec {p}},{\vec {q}})=E}(d{\vec {p}}\,)^{n}(d{\vec {q}}\,)^{n}}$

Integrala, energia kontserbatzen den espazio faseko eskualdeen eremu batera mugatzen da. Neurri kanonikoa erabiliz espazioa integratzeko justifikazioak probabilitate berdina dutela suposatzea dakar. Hipotesi ergodikoa nahiz Liouvilleren sistema Hamiltonikoen teorema erabiliz egin daiteke.

Liouvilleren teoremak sistemak aztertzen dituen dimentsio kopuru finkoak onartzen ditu. Entropia-kalkuluetan, zenbaki-dimentsioak sistemaren partikula kopuruarekiko proportzionala da, zeinek espazio fasea, partikulak gehitu edo kenduz gero, dimentsionaltasuna bat-batean aldatzera behartzen duten. Honek entropiak partikula kopuruarekiko duen mendekotasunerako deribazio argi eta sinple bat eraikitzeko zailtasuna azal dezake.

Gas idealen kasuan, fase-espazio irisgarria (n-1)-esfera bat da (hiperesfera ere deitua) n dimentsioko ${\vec {v}}$ espazioan:

$E=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}mv_{j}^{2}$

Entropia estentsiboa ez deneko emaitza paradoxikoa berreskuratzeko, espazioaren gainean integrattuko da ${\displaystyle 0<x<\ell }$ tartean konfinatuta dauden n partikulako gas baterako. Hemen helburu bakarra paradoxa bat argitzea denez, notazioa sinplifikatu egingo da partikularen masa eta Boltzmannen konstantea batasun berdin bat hartuz:  ${\displaystyle m=k=1}$. n eta 2 dimentsioko bektoreen bidez fase espazioan dauden puntuak eta haien x eta v zatiak irudikatuko dira:

${\vec {\xi }}=[x_{1},...,x_{n},v_{1},...,v_{n}]=[{\vec {x}},{\vec {v}}\,]\,\,\,{\textrm {non}}\,\,\,{\displaystyle {\vec {x}}=[x_{1},...,x_{n}]}eta{\displaystyle {\vec {v}}=[v_{1},...,v_{n}]\,}$

den. Entropia kalkulatzeko, honako erlazio hau erabiliko da: (n-1)-esfera, ${\displaystyle \Sigma v_{j}^{2}=R{\displaystyle {2}\,}\Sigma v_{j}^{2}}=R^{2}$, zeinak ${\tilde {A}}_{n}(R)={\frac {n\pi ^{n/2}}{(n/2)!}}R^{n-1}$ -eko (n-1) dimentsioko "hiper-azalera bolumena" duen.

Adibidez, n=2 bada, 1-esfera ${\tilde {A}}_{2}(R)=2\pi R$ zirkulua da, "hiperazalera" bat planoan. Esfera dimentsionala (n bakoitia) denean, gamma funtzioa erabili beharko da faktorea zentzua izateko.

Gibbsen paradoxa entropia n dimentsioko espazio bat erabiliz kalkulatzen denean sortzen da, non n gasaren partikula kopurua den. Partikula hauek ${\displaystyle \ell ^{n}}$ dimentsio bakarreko tartean mugaturik daude. Energia finkoaren azaleraren bolumena hau da:

${\displaystyle \Omega _{E,\ell }=\left(\int dx_{1}\int dx_{2}...\int dx_{n}\right)\left(\underbrace {\int dv_{1}\int dv_{2}...\int dv_{n}} _{\Sigma v_{i}^{2}=2E}\right)}$

${\displaystyle \Omega }$ azpimultzoak "egoera aldakorrak" definitzeko erabiltzen dira eta konfigurazio espazioaren gaineko integrala ${\displaystyle \ell ^{n}}$ da. Azpimultzoak adierazten duen bezala, abiadura espaziotik gorako integrala ${\displaystyle {\sqrt {2E}}}$-ko erradioa duen n-1 dimentsioko hiperesfera erradiora mugatzen da, eta, beraz, hiperazalera horren azaleraren parekoa da. Hots:

$\Omega _{E,\ell }=\ell ^{n}{\frac {n\pi ^{n/2}}{(n/2)!}}(2E)^{\frac {n-1}{2}}$

Faktorialera hurbildu eta termino txikiak baztertu ondoren, hurrengoa lortzen da:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Omega _{E,\ell }&\approx n\ln \ell +n\ln {\sqrt {\frac {E}{n}}}+{\text{kte}}\\&=\underbrace {n\ln {\frac {\ell }{n}}+n\ln {\sqrt {\frac {E}{n}}}} _{\text{estentsiboa}}+\,n\ln n+{\text{kte}}\\\end{aligned}}}$

Bigarren adierazpenean,$n\ln n$ terminoa${\displaystyle \ln \ell -\ln n=\ln(\ell /n)}$ eginez gehitu da. Lehenengo bi terminoak estentsiboak dira: sistemaren bolumena bikoiztu egiten bada, baina energia bera duten partikula dentsitate berarekin betetzen bada, orduan termino horietako bakoitza bikoiztu egiten da. Baina hirugarren terminoa ez da ez estentsiboa, ez intentsiboa, beraz, okerra da.

Konstante arbitrarioa gehitu egin da normalean entropia konstante arbitrario baten arabera definitzen delako. Hau bereziki beharrezkoa da entropia momentu-posizioko unitateetan neurtutako bolumen fase-espazioaren logaritmo gisa definitzen denean. Unitate horiek definitzeko moduaren edozein aldaketak entropiaren balioaren konstante bat gehitu edo kenduko du.

Entropia klasikoa estentsibo bihurtzeko bi modu estandar daude.

Goian aipatu denez, entropiaren forma estentsiboa berreskuratzen da espazioaren bolumena ${\displaystyle \Omega _{E,\ell }}$ zatitzen denean $n!$ faktorez. Ikuspegi alternatibo bezala, ${\displaystyle n}$ aldatzean fase-espazioaren dimentsionalitatea aldatzen den eremuetan partikula kopuruarekiko menpekotasuna ezin dela ziurtatu esan daiteke. Halako aldaketak dimentsionalitatean ezin dira aztertu mekanika Hamiltoniarra eta Liouville-ren teoremarekin. Arrazoi horrengatik hurbilketa ona da konstante arbitrarioa ${\displaystyle n}$-ren funtzioan egotea. Funtzioa honela definituko da, ${\displaystyle f(n)=-{\frac {3}{2}}n\ln n}$ . Beraz, honako erlazio hau lortuko da:

${\displaystyle {\begin{aligned}S=\ln \Omega _{E,\ell }&\approx n\ln \ell +n\ln {\sqrt {E}}+{\text{kte}}\\&=n\ln \ell +n\ln {\sqrt {E}}+f(n)\\\ln \Omega _{E,\ell ,n}&\approx n\ln {\frac {\ell }{n}}+n\ln {\sqrt {\frac {E}{n}}}+{\text{kte}}\\\end{aligned}}},$

honako propietate hau betetzen duena:

$S(\alpha E,\alpha \ell ,\alpha n)=\alpha \,S(E,\ell ,n).$

Swendsenen partikula-elkartruke hurbilketa

Swendseni jarraituz, bi sistemen artean partikulak elkartrukatzeko aukera onartuko da. Horrek, funtsean, fase-espazioan lekua egiten du partikulak sartu edo irten daitezen fase-espazioaren dimentsioak aldatu gabe. Partikula kopuru osoa $N$ honako hau da:

• $n_{A}$ partikulen koordenatuak $0<x<\ell _{A}.$

partikula hauen energia totala ${\displaystyle E_{A}}$ da.

• $n_{B}$ partikulen koordenatuak $0<x<\ell _{B}.$

partikula hauen energia totala ${\displaystyle E_{B}}$ da.

• Beraz energia osoa eta partikula kopuru osoa ${\displaystyle E_{A}+E_{B}=E}$ eta $n_{A}+n_{B}=N$ dira, hurrenez hurren.

Fase-espazioan integrala honako hau da:

$\Omega _{E,\ell ,N}=$${\displaystyle \left(\underbrace {\int dx_{?}...\int dx_{?}} _{n_{A}\;{\text{terminoak}}}\underbrace {\int dx_{?}...\int dx_{N}} _{n_{B}\;{\text{terminoak}}}\right)\left(\underbrace {\int dv_{1}\int dv_{2}...\int dv_{N}} _{\Sigma v^{2}=2E_{A}\;{\text{edo}}\;\Sigma v^{2}=2E_{B}}\right)}$

${\displaystyle =\left(\ell _{A}\right)^{n_{A}}\left(\ell _{B}\right)^{n_{B}}\left(\underbrace {\frac {N!}{n_{A}!n_{B}!}} _{\text{konbinazioa}}\right)\left(\underbrace {{\frac {n_{A}\pi ^{n_{A}/2}}{(n_{A}/2)!}}(2E_{A})^{\frac {n_{A}-1}{2}}} _{n_{A}-{\text{esfera}}}\right)\left(\underbrace {{\frac {n_{B}\pi ^{n_{B}/2}}{(n_{B}/2)!}}(2E_{B})^{\frac {n_{B}-1}{2}}} _{n_{B}-{\text{esfera}}}\right)}$

Galdera ikurrak (?) gogorazi egiten du lehen $n_{A}$ partikulak ez direla zertan A sisteman egon behar eta gainontzekoak B sisteman (hau sakonago aztertuko da hurrengo atalean). Logaritmoak hartuz eta terminorik handienak gordez, honako hau geratuko da:

$S=\ln \Omega _{E,\ell ,N}{\displaystyle \approx n_{A}\ln \left({\frac {n_{A}}{\ell _{A}}}{\sqrt {\frac {E_{A}}{\ell _{A}}}}\right)+n_{B}\ln \left({\frac {n_{B}}{\ell _{B}}}{\sqrt {\frac {E_{B}}{\ell _{B}}}}\right)+N\ln N+{\text{kte.}}}$

Aurrekoa A sistemaren eta B sistemaren entropia batura bezala interpretatu daiteke, biak kantitate estentsiboak. Estentsiboa ez den $N\ln N$ terminoa ere badago.

Partikula-elkartrukearen hurbilketa hiru dimentsiotan

Hiru partikuladun gas ideala bitan banatuta

A eta B sistemetarako formula egokiak aurkitu dira kontuan hartu direlako bi sistemen arteko partikula elkartrukaketa posible guztiak. Konbinatoria erabiliz kalkulatu da zenbat era ezberdinetan banandu daitezkeen $N$ partikula A sisteman $n_{A}$ eta B sisteman $n_{B}$ partikula egoteko. Kontaketa hau egiteko arrazoi fisikoak egoteaz gain, fase espazioan integratzeko beharra ere badago_; izan ere, ikusiko denez, fase-espazioak ez du $n_{A}$-esfera eta $n_{B}$-esfera bakarra, horren ordez:

${N \choose n_{A}}={\frac {N!}{n_{A}!n_{B}!}}$

n-esfera pare guztiak N+1-dimentsioko abiadura-espazio berean kokatuak. Espazio eskuragarri baten gaineko integralak esfera guzti horiek barne hartu behar ditu, irudian ikus daitekeen bezala, hiru partikulaz osatuta dagoen gas bati lotutako abiadura fase-espazioa erakusten duena. Gainera, gas hau bi sistematan banatu da: A eta B.

Aldagai espazialak baztertzen badira, hiru partikula dituen gas baten fase espazioa hiru dimentsiokoa da. Hiru partikulak elkarrekin badaude, bi gasen artek tartea 3|0 da. Fase-espazio eskuragarria esfera arrunt batez mugatuta dago (2-esfera), ${\displaystyle {\sqrt {2E_{1}}}}$ edo ${\sqrt {2E_{2}}}$ erradioa duena (partikulak zein sistemak dituen arabera).

Banaketa 2|1 bada, orduan espazioa zirkulu eta puntuz osatuta egongo da. Zirkulu bakoitzak bi dimentsio hartzen ditu, eta zirkulu bakoitzerako hirugarren ardatzean bi puntu daude, zirkuluaren erdigunetik distantziakidea. Hau da, A sstemak bi partikula baldin baditu, fase-espazio eskuragarria hiru n-esfera parez osatuta dago, bikote bakoitzak 1-esfera eta 0-esfera izanik:

$v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=2E_{A}\qquad v_{3}^{2}=2E_{B}$

$v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=2E_{A}\qquad v_{1}^{2}=2E_{B}$

$v_{3}^{2}+v_{1}^{2}=2E_{A}\qquad v_{2}^{2}=2E_{B}$

Ohartu, ${3 \choose 2}=3$ dela.