Plano

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Matematikan, planoaren ekuazioak hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez x+y+z-6=0 planoko soluzio guztiak (besteak beste, (x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1)) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.

Plano bat zenbait eratara finka daiteke:

  • kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
  • puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;
  • puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.

Ekuazio bektoriala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Planoko hiru puntuak (x_0,y_0,z_0),(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\, izanik, planoa osatzeko behar diren bi bektore zuzentzaileak honela eman daitezke:

\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\,
\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)=(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0)\,

Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:

\begin{align}
\mathbf{x}=(x,y,z)&=\mathbf{x}_0+\lambda\mathbf{u}+\mu\mathbf{v}=\\
&=(x_0,y_0+z_0)+\lambda(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)+\mu(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0).
\end{align}

Planoko puntuak \lambda,\ \mu\, parametroei edozein balio erreal emanez sortzen dira.

Ekuazio parametrikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:

x=x_0+\lambda(x_1-x_0)+\mu(x_2-x_0)\,
y=y_0+\lambda(y_1-y_0)+\mu(y_2-y_0)\,
z=z_0+\lambda(z_1-z_0)+\mu(z_2-z_0)\,

Ekuazio bektorialean bezala, \lambda,\ \mu\, parametroei edozein balio erreal emanez, planoko (x,y,z) puntuak sortuko dira.

Ekuazio orokorra[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:

\mathbf{x}-\mathbf{x}_0=\lambda\mathbf{u}+\mu\mathbf{v}\,,

honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:


\left|
\begin{array}{ccc}
x-x_0 & x_1-x_0 & x_2-x_0\\
y-y_o & y_1-y_0 & y_2-y_0\\
z-z_0 & z_1-z_0 & z_2-z_0\\
\end{array} \right|=0.

Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:

Ax+By+Cz+D=0\,

Planoko (x,y,z)\, puntu bat x,y\, aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren z\, balioa bakanduz lortuko da.

Ekuazio normala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bitez \mathbf{P}_0=(x_0,y_0,z_0)\, planoko puntu bat eta \mathbf{n}=(a,b,c)\, planoarekiko normala edo elkarzuta den bektore bat. Orduan, \mathbf{P}=(x,y,z)\, planoko edozein punturentzat hau betetzen da:

\vec{PP_0}\mathbf{n}=0\,

Garatuz, planoaren ekuazio normala lortzen da:

\mathbf{n}\vec{PP_0}=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=ax+by+cz+d=0\, ,


non d=-ax_0-by_0-cz_0\,.

Planoko (x,y,z)\, puntu bat x,y\, aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren z\, balioa bakanduz lortuko da.

Beraz, ekuazio orokorrarekin alderatuz, ekuazio okorreko A,B,C\, parametroek planoarekiko normala den bektore bat osatzen dute.