Geometria

Hirusta lokarria

Geometria (grezieraz γεωμετρία, geo = lurra, metria = neurtu) gorputzen tamaina, forma eta posizio erlatibo eta espazioaren propietatez arduratzen den matematikaren ataletako bat da. Geometria da zientziarik zaharrenetariko bat. Hasiera batean luzera, azalera eta bolumenaren inguruan kezkatzen zen baina K. a. III. mendetik aurrera Euklidesek axioma ezberdinak proposatu zituenetik mendetan zehar estandar hauetan oinarritu da. Astronomiak eman zituen hurrengo mende eta milurteko eta erdian buruhauste geometriko nagusiena.

Rene Descartesek koordenatuak sartu zituenetik eta aljebraren garapenarekin batera geometria beste garai batean sartu zen. Gainazal kurboak geometria analitikoa erabiliz deskribatu ahal ziren, adibidez, funtzio eta ekuazioak erabiliz. Gertakari honek paper garrantzitsua jokatu zuen kalkuluaren sorreran XVII. mendean. Are eta gehiago, perspektibaren teoriak argi utzi zuen geometria badela gorputzen eta formen propietate metrikoak baino zerbait gehiago. Geometriaren gaiak oraindik aberatsago egin ziren hainbat gorputz geometrikoren berezko egitura ikertuz eta alor honetan Euler eta Gaussek eginiko lanek topologia eta geometria diferentzialaren sorrera ekarri zuten.

XIX. mendean geometria ez-euklidearra aurkitu zenean espazioren kontzeptuak aldaketa izugarria lortu zuen. Gaur egungo geometriak tolesak eta lokarriak ere kontsideratzen ditu, Euklidear espazioa baino abstraktuagoak diren objektuak, eta eskala txikietan baino geometria klasikoaren itxura duten objektuak ere ikertzen ditu. Gaur egungo geometriak harreman handia du fisikarekin, batez ere geometria Riemanniarra eta erlatibitate orokorraren artean. Fisikaren teoriarik berrienetako bat ere, korden teoria, oso geometrikoa da azken finean.

Geometria irudi bidez adierazgarria izateak matematikaren beste atalak baino ulergarriagoa egiten du, batez ere aljebra edo zenbakien teoriaekin alderatuz. Hala ere hizkera geometrikoa normalean ohituak gauden esparruetatik at ere mugitzen da, geometria fraktalean, adibidez, eta batez ere geometria aljebraikoan.

Geometriaren historia

Emakumea geometria irakasten. 1310eko grabatua, Euklidesen Elementuen inguruko erdi aroko liburu baten hasieran.

Ezagutzen diren geometriaren lehenengo izkribuak antzinako Mesopotamiatik datoz. Antzinako Egipto eta Indo Bailaran ere geometria lantzen zen K. a. 3. milurtekoan. Hasierako geometria aurkikuntza enpiriko pila baten batura zen eta luzera, angelu, azalera eta bolumenak kalkulatzeko erabiltzen zen. Geometriaren garapena eraikuntza, esplorazioa eta astronomiarekin loturik agertzen zen gehienetan. Ezagutzen den geometria testurik zaharrena Egiptiar matematikatik datozen Rhindeko Matematika Papiroa eta Moskuko papiroa, Babiloniako taula kuneiformeak eta Indiako Shulba Sutras testuak dira. Txinan Mozi, Zhang Heng eta Matematika-artearen bederatzi kapituluak idatzi zituen Liu Huik.

Euklidesen Geometriako Elementuak (K. a. 300) geometriaren hasiera testuetatik garrantzitsuenetariko bat da. Liburu horretan geometria axioma ideal batzuen barnean kokatzen zen eta horregatik ezagutzen da Euklidesen Geometria moduan. Tratatu hau ez da, ahal ere, Antzinako Greziako matematikariek geometriaren inguruan zekiten guztiaren bilduma bat, baizik eta gai horretarako sarrera bat. Euklidesek ere beste zortzi liburu sakonago idatzi zituen. Gainera badakigu beste iturri batzuen diotenaren arabera hau ez zela izan geometriaren alorreko lehenengo oinarrizko liburua.

Erdi Aroan matematikari musulmanek geometriaren garapena ekarri zuten, batez ere geometria aljebraikoa eta aljebra geometrikoa. Al-Mahanik (853. urtean jaio) lehenengo aldiz proposatu zituen irtenbide geometrikoak arazo aljebraikoei. Thabit ibn Qurra (836-901) aritmetikako operazioak ebatzi zituen kantitate geometrikoen ratioetara eta lehenengo lanak egin zituen geometria analitikoren esparruan. Omar Khayyamek (1048-1131) irtenbide geometrikoa aurkitu zien ekuazio kubikoei eta paraleloen postulatuaren gainean eginiko lanak ekarpen handia egin zion geroagoko geometria ez-euklidearrari.

XVII. mendean geometriaren esparruan bi garapen handi egon ziren. Lehenengoa, eta garrantzitsuena, geometria analitikoaren sorrera izan zen, hau da ekuazio eta koordenatu sistema batekin ebatzi zitekeen geometria. Rene Descartes (1596-1650) eta Pierre de Fermat (1601-1665) izan ziren alor hauen garatzaileak eta honekin batera fisikan erabiltzen den kalkuluaren garapena etorri zen. Bigarren garapen handiena Girard Desarguesek (1591-1661) eginiko geometria proiektiboaren azterketa izan zen. Geometria mota honek ez du neurketa erabiltzen, puntuen arteko lerrokatzea nolakoa den aztertzen du.

XIX. mendean bi garapen handi egon ziren eta geometriaren aurretiko logika osoa hankaz-gora jarri zuten. Lehenengoa Geometria ez-euklidearraren garapena izan zen, Lobachevsky, Bolyai eta Gaussen esku. Bigarrena simetriaren formulazioa izan zen, Erlangen Programako Felix Kleinen esku. Garai honetako bi geometra garrantzitsu Bernhard Riemann eta Henri Poincare izan ziren. Lehenengoa analisi matematikoaren bitartea Riemannen gainazalak aztertu zituen eta bigarrenak topologia aljebraikoa garatu zuen.

Aldaketa guzti hauen ondorioz geometriak aztertzen zuen espazio kontzeptua oso aberatsa eta anitza bilakatu zen. Geometria tradizionala gaur egun espazio homogeneoren geometria gisa ikusten da, hau da, hainbeste simetria duten espazioak ezen puntu batetik bestera begiratuta berdinak diruditen.

Zer da geometria?

Pitagorasen teoremaren emaitza bisuala (3, 4, 5) hirukirako, Chou Pei Suan Chingen liburu batean, K. a. VI. mendea-K. a. III. mendeen bitarte.

Geometria zen den deskribatzea zaila da, azken finean bi milurteko baino gehiago garatzen doan zientzia bat baita. Ez da arraroa ikustea nola denboran zehar geometriarekiko dugun iritzia aldatu izan den. Hemen aipatzen diren ideietako batzuk geometriak ditun alor guztien adibide batzuk baino ez dira eta ez dira inolaz ere guztiak, baina irudi orokor bat ematen laguntzen duten.

Geometria praktikoa

Ez dago duda handirik geometriaren jatorria zientzia praktiko bat denaren inguruan. Geometriaren sorrera gauzen luzera, azalera eta bolumenak neurtzeko asmatu zen eta horretarako formulak daude Pitagorasen teoreman, borobil baten zirkunferentzia eta azalera kalkulatzean, hiruki baten azalera kalkulatzean edo zilindro, esfera edo piramide baten bolumena kalkulatzerakoan. Astronomiaren garapenak trigonometria eta trigonometria esferikoaren garapena ekarri zuen, berauek kalkulatzeko metodoekin batera.

Geometria axiomatikoa

Guretzat ezezagunak diren distantzia eta altuerak edo zuzenean neurtu ezin ditugunak neurtzeko antzekotasuna aztertzera eraman gintuen. Talesek edo Euklidesek eginiko lanek sekulako garrantzia izan zuten. Euklidesek hainbat axioma eta postulatu sartu zituen, puntuek, lerroek eta planoek dituzten hainbat ezaugarri adieraziz. Arrazoitze matematikoa erabili zuen guzti hauek ikertzeko eta oso modu hertsian egin zuen. XX. mendean David Hilbertek metodo bera erabili zuen, arrazoitze axiomatikoarena, Euklidesen geometria eraberritzeko asmoz.

Geometria motak

• Geometria euklidearra
  • Geometria laua
  • Geometria espaziala
• Geometria analitikoa
• Geometria diferentziala
• Proiekziozko geometria
• Geometria deskribatzailea
• Intzidentziaren geometria
• Behe dimentsioetako geometria