Planoaren ekuazio

Wikipedia(e)tik

Matematikan, planoaren ekuazioak hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez x+y+z-6=0 planoko soluzio guztiak (besteak beste, (x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1)) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.

Plano bat zenbait eratara finka daiteke:

kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;
puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.

[aldatu] Ekuazio bektoriala

Planoko hiru puntuak $(x_0,y_0,z_0),(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\,$ izanik, planoa osatzeko behar diren bi bektore zuzentzaileak honela eman daitezke:

$\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\,$

$\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)=(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0)\,$

Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:

$\begin{align} \mathbf{x}=(x,y,z)&=\mathbf{x}_0+\lambda\mathbf{u}+\mu\mathbf{v}=\\ &=(x_0,y_0+z_0)+\lambda(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)+\mu(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0). \end{align}$

Planoko puntuak $\lambda,\ \mu\,$ parametroei edozein balio erreal emanez sortzen dira.

[aldatu] Ekuazio parametrikoak

Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:

$x=x_0+\lambda(x_1-x_0)+\mu(x_2-x_0)\,$

$y=y_0+\lambda(y_1-y_0)+\mu(y_2-y_0)\,$

$z=z_0+\lambda(z_1-z_0)+\mu(z_2-z_0)\,$

Ekuazio bektorialean bezala, $\lambda,\ \mu\,$ parametroei edozein balio erreal emanez, planoko (x,y,z) puntuak sortuko dira.

[aldatu] Ekuazio orokorra

Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:

$\mathbf{x}-\mathbf{x}_0=\lambda\mathbf{u}+\mu\mathbf{v}\,$ ,

honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:

$\left| \begin{array}{ccc} x-x_0 & x_1-x_0 & x_2-x_0\\ y-y_o & y_1-y_0 & y_2-y_0\\ z-z_0 & z_1-z_0 & z_2-z_0\\ \end{array} \right|=0.$

Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:

$Ax+By+Cz+D=0\,$

Planoko $(x,y,z)\,$ puntu bat $x,y\,$ aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren $z\,$ balioa bakanduz lortuko da.

[aldatu] Ekuazio normala

Bitez $\mathbf{P}_0=(x_0,y_0,z_0)\,$ planoko puntu bat eta $\mathbf{n}=(a,b,c)\,$ planoarekiko normala edo elkarzuta den bektore bat. Orduan, $\mathbf{P}=(x,y,z)\,$ planoko edozein punturentzat hau betetzen da: