Partikula kutxan harrapatuta

Partikula baten ibilbidea eredu ezberdinen arabera: mekanika klasikoa (A), Schrödinger-en ekuazioa (B-F). (B-F) grafikoetan ardatz horizontalak posizioa adierazten du eta bertikalean zati erreala (urdina) eta zati irudikaria (gorria). (B-C-D) grafiketan egoera geldikorra ageri da eta (E-F)-n berriz ez.

Mekanika kuantikoan partikulak kutxan (edo potentzial infinituko kutxak) zeharkatu ezinezko mugen artean mugimenduan aurkitzen den partikula bat deskribatzen du. Sistema klasikoa eta kuantikoaren arteko ezberdintasunak adierazteko adibide hipotetiko bezala erabiltzen da. Sistema klasikoan, partikula kutxa luze baten barruan sartzean, hau edozein lekutik libre mugitu daiteke leku batean edo bestean egoteko probabilitate gehiago egon gabe. Kutxa estutzen dugunean (nanometro gutxi batzuetako eskalan) efektu kuantikoek garrantzia hartzen dute. Partikulak energia maila positibo jakin batzuk soilik har ditzake. Aldi berean, partikularen energia ezin da nulua izan, ezin baitu erabat geldirik egon. Gainera, bere energia mailaren arabera probabilitate handiagoa dago leku batzuetan aurkitzeko besteetan baino. Horrez gain, partikula ezin da posizio zehatz batean detektatu baizik eta nodo espazialean.

Mekanika kuantikoan analitikoki ebatzi daitekeen problema bakarrenetakoa da kutxan harrapatuta aurkitzen den partikularena, hurbilketarik egin gabe. Hau dela eta, partikula baten propietate behagarriak (adibidez, energia edo posizioa) partikularen masaren eta kutxaren zabaleraren menpekoak dira eta adierazpen matematiko sinple batzuen bidez ebatzi daitezke. Bere sinpletasuna dela eta, ez da beharrezkoa matematikaren inguruan ezagutza sakonik izatea eredu hau ulertzeko. Oinarrizko fisika ikasketetan lantzen den mekanika kuantikako lehen ereduetako bat da eta konplexuagoak diren ereduak ulertzeko beharrezkoa.

Problemaren planteamendua

Dimentsio bakarreko kutxa baten paretetatik kanpo potentziala infinito den bitartean kutxaren barnean zero da.

Problema hau hainbat dimentsio ezberdinetan plantea daiteke. Sinpleena dimentsio bakarrekoa izanik eta erabilgarriena hiru dimentsioetakoa. Dimentsio batean, gure partikula x ardatzaren menpe aurkitzen da, hasiera eta bukaera paretek mugatzen dutelarik. Hiru dimentsioetan aldiz, partikula x, y eta z ardatzen menpe izango dugu.

Fisikaren ikuspuntutik kutxaren barnean dagoen partikulak ez du inongo indarrik jasaten, hau da, bere energia potentziala konstantea da eta ondorengo eragiketetan zerotzat hartuko dugu. Kutxaren paretetan eta hauetatik kanpo pontentzialak infinitorantz jotzen du, zeharkaezin bihurtuz. Hau dela eta Schrödinger-en ekuazioaz balia gaitezke soluzio bat aurkitzeko.

Eredu hau mekanika klasikoaren ikuspuntutik landuko bagenu lortutako emaitzak zentzuzkoak eta intuitiboak lirateke. Aldiz, mekanika kuantikoan Schrödinger-en ekuazioa aplikatuz lorturiko emaitzak ez dira intuitiboak. Izan ere, mekanika kuantikoan partikulak energia maila espezifiko batzuk soilik izan ditzazke, hau da, energia kuantizatuta dago eta ez da posible energia zero izatea. Gainera, partikula kutxa barnean aurkitzeko probabilitateak ez dira uniformeak (zenbait posiziotan aurkitzeko probabilitateak altuak diren bitartean beste zenbait posiziotan ezinezkoa da partikula bertan aurkitzea). Nahiz eta, printzipio hauek esperimentu ugariren bitartez baieztatuak izan ez dira munduarekiko dugun ikuspegiarekiko logikoak.

Ekuazioen ebazpena eta emaitzak

Dimentsio bateko kutxa (1D)

Partikula kutxa batean problemaren eredurik errezena dimentsio bateko kutxa da, zeinetan partikularen masak m, [0,L] arteko edozein posizio hartu dezake. Egon daitezkeen egoera geldikorrak aurkitzeko beharrezkoa da dimentsioa bateko eta denborarekiko independientea den Schrödinger ekuazioa planteatzea. Potentziala kutxa kanpoan infinito da, hau da, partikula eremu horietatik ateratzeko probabilitatea nulua da. Potentziala kutxa barruan zero da. Kutxaren barruko Schrödinger ekuazioa honako hau da:

(1)

$-{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=E\psi (x)\quad {\mbox{non}}\quad 0<x<L$

Ondorengo mugak kontuan hartuz kutxaren kanpoaldeko uhin funtzioa nulua da.

(1a)

${\begin{cases}\psi (0)=0\\\psi (L)=0\end{cases}}$

non,

$\hbar$ Planck-en konstantea,

$m\,$ partikularen masa,

$\psi \left(x\right)\,$ lortu nahi dugun eta denborarekiko independientea den uhin funtzio geldikorra, (autofuntzioa)

$E\,$ partikularen energia (autobalorea)

L luzeerako dimentsio bateko kutxan m masako partikularen autofuntzio eta autobaloreak hurrengoak dira:

(1b)

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)},\qquad E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}n^{2},\qquad {\mbox{con}}\ n=1,2,3,...$

Energia mailak

Partikula baten energia kutxa batean (puntu beltzak) eta partikula askearen energia (lerro grisa) uhin funtzioaren menpe daude. Kutxa barruko partikulak soilik energia maila zehatzak har ditzake.

Uhin funtzio bakoitzari dagokion energia honela idatz daiteke.

$E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}$

Energia mailak n zenbakiaren berbidurarekin handitzen dira, hori dela eta energia mailen arteko distantzia handituz doa n handituz doan heinean. Hartu dezaken maila baxuena argazkian agertzen den lehenengo egoera da eta horrela adierazten da:

$E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}.$

Ikusten den bezala, energia maila kuantizatuak bakarrik dira posible. Gainera, n ezin denez zero izan, energiaren balio minimoa ere ez. Energia honi zero puntuko energia deritzogu, eta ziurgabetasun printzipioaren bidez azaltzen da. Partikula soilik eremu mugatu batean mugitu daitekenez, posizioak goi muga bat dauka (kutxaren luzera, L). Ziurgabetasun printzipioari erreparatuz, partikularen mugimendua ezin da zero izan. Partikulak energia bat izan behar du eta hau handitu egingo da kutxaren luzera txikitzen den heinean.

Emaitza

Aurretik aipatutako Schrödinger ekuazioa bigarren ordeneko eta koefiziente konstanteko ekuazio diferentzial lineala da. Honen emaitza orokorra hurrengo da:

$\psi (x)=A\sin(kx)+B\cos(kx),\qquad {\mbox{non}}\ k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$

non, A eta B, orokorrean, zenbaki konplexuak dira eta mugetako baldintzak bete behar dituzte. Bestalde, k uhin zenbaki bezala ezagutzen da eta E zenbaki erreala denez hau ere erreala da. Dimentsio bateko kutxaren emaitza lortzeko, A eta B muga baldintza egokiak bete behar dituzte. Lehen muga baldintza kontuan hartuz. $\psi (0)=0$ eta jakinda $\sin(0)=0\,$ dela eta $\cos(0)=1\,$ dela $B=0$ izango da eta uhin funtzioa ondokoa izango da:

$\psi (x)=A\sin(kx)\,$

eta $x=L\;$ puntuan:

$\psi (L)=A\sin(kL)=0\,$

Hala ere, ez dakizkigu K eta A-ren balioak. Dimentsio bateko kutxaren irudikapenean oinarrituz $\sin(kL)=0\,$ . Uhin funtzio hau nulua izateko bi aukera daude, alde batetik, $A=0\;$, ezinezkoa dena (partikula kutxatik kanpo egongo da) eta bestalde, $\sin(kL)=0\,$ erabilgarria dena.

$k={\frac {n\pi }{L}}\quad {\mbox{non}}\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

$n=0\,$ balioa ezeztatu egiten da $\psi =0$ eta aurrekoan bezala partikula kutxatik kanpo egongo litzatekelako. Aldi berean , balore negatiboak ezeztatzen dira, uhin funtzioaren karratua $\psi ^{*}\psi$ positiboa izango delako beti eta balore negatiboak ez luketelako beste egoera berririk emango.

$A\,$ balorea lortzeko uhin funtzioa normalizatu egin behar da. Partikula espazioko leku konkretu batean aurkitzen dela dakigunez eta $|\psi (x)|^{2}\,$ probabilitate dentsitatea adierazten duenez, probabilitate dentsitatearen integrala $x\,$ espazio osoan berdin bat izan behar da:

$1=\int _{-\infty }^{\infty }\left|\psi (x)\right|^{2}\,\mathrm {d} x=\left|A\right|^{2}\int _{0}^{L}\sin ^{2}\left(kx\right)\,\mathrm {d} x=\left|A\right|^{2}{\frac {L}{2}}\qquad \Rightarrow \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}$

Ekuazio honetatik A balio absolututzat ${\sqrt {(2/L)}}$; duen edozein zenbaki konplexu dela ondorioztatu dezakegu. Azkenik, lortutako balioak ekuazio orokorrean ordezkatuz dimentsio bateko kutxako partikulari dagozkion autofuntzio eta energia balioen multzoa lortzen da.

Hiru dimentsioko kutxa (3D)

Atal honetan, partikula L_x, L_y y L_z aldedun kutxa ortoedriko batean dago harrapatuta. Problema honi soluzio bat aurkitzeko modu sinpleena koordenatu kartesiarretaz baliatzea da. Schrödinger-en ekuazioa betetzen duten sistema fisiko baten egoera geldikorrak, honako hauek dira:

(2) ${\begin{cases}-{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (x,y,z)=E\psi (x,y,z)\\\\\psi (0,y,z)=\psi (L_{x},y,z)=0\\\psi (x,0,z)=\psi (x,L_{y},z)=0\\\psi (x,y,0)=\psi (x,y,L_{z})=0\end{cases}}$

Kutxa kanpoko uhin-funtzioa zero da, honek esan nahi duena da, ez dagoela probabilitaterik partikula kutxatik kanpo aurkitzeko, hau da, gure partikulak ez du kutxatik ihes egingo. Goiko ekuazioa (2) bere osagaietan bana daiteke soluzioa aurkitzeko:

(2a)

$\psi (x,y,z)={\sqrt {\frac {8}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)\sin \left({\frac {n_{z}\pi z}{L_{z}}}\right)$

Non $n_{x},n_{y},n_{z}\,$, zenbaki kuantiko deiturikoak, zenbaki osoak diren eta dimentsio bakarreko kasuan bezala $n_{x},n_{y},n_{z}>0\,$ bete behar den. Energiaren balio posibleak kuantizatuta daude eta honela adierazten dira:

(2b)

$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{L_{z}^{2}}}\right)$

Kutxa simetrikoa denean fenomeno interesgarri bat ikusten da. Alde bat baino gehiagok neurri bera dutenean, energia balore berdina duten uhin funtzio ezberdinak lortuko ditugu. Kasu hauetan egoera degeneratuak ditugula esango dugu. Adibidez, $L_{x}=L_{y}$ denean, $n_{x}=1,n_{y}=2\,$ eta $n_{x}=2,n_{y}=1\,$bete daiteke.

Aplikazioak

Bere matematika sinpleagatik, partikula kutxan eredua beste eredu konplexuago batzuen soluzio gerturatuak bilatzeko erabiltzen da. Eredu horietan, partikula potentzial elektriko baxuko eremu estu batean harrapaturik dago, non mugek potentzial altua dute. Kutxa kuantikoaren sistema hauek garrantzitsuak dira oktoelektronikan, eta beste zenbait gailuetan erabiliak izan dira adibidez, kutxa kuantikoko laserra, kutxa kuantikoko infragorri fotodetektagailua. Baita ere, metal finitu bateko elektroi libren gerturaketarako.

Ondorioak

Uhin-funtzioak jarraia izan behar duenez eta gure mugetan zero balioa hartzen duenez energiak kuantizatua egon behar du, hau da, ezin du edozein energia balio izan. Hau izanik mekanika kuantikoa eta tradizionala bereizten dituen ezaugarri nagusia.

Bibliografia

• Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (2000). Quantum mechanics (2. edizioa). Essex: Pearson Education. ISBN 0-582-35691-1.
• Davies, John H. (2006). The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (6. edizioa). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2. edizioa). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.

Kanpo loturak

• Scienceworld (Potentzial infinituko kutxa)
• 1-D quantum mechanics java applet Partikula kutxan eta dimentsio bakarreko beste hainbat kasuren simulazioa.